Определить момент силы относительно оси х

Предмет: Физика
Раздел: Статика, Момент силы

Решение

Момент силы относительно оси ( x ) определяется как проекция вектора момента силы на эту ось. Формула для момента силы:

M = \vec{r} \times \vec{F}

где:

• \vec{r} — радиус-вектор от оси вращения до точки приложения силы,
• \vec{F} — вектор силы,
• \times — векторное произведение.

Проекция момента на ось ( x ) равна:

M_x = M \cdot \cos(\theta),

где ( \theta ) — угол между моментом и осью ( x ).

Дано:

• Сила ( F = 5 \, \text{Н} ),
• Размеры параллелепипеда:
  ( a = 0.6 \, \text{м} ),
  ( b = 0.3 \, \text{м} ),
  ( c = 0.2 \, \text{м} ),
• Угол ( \alpha = 30^\circ ).

1. Зададим радиус-вектор ( \vec{r} ):

Радиус-вектор ( \vec{r} ) направлен от оси ( x ) (точка ( O )) до точки приложения силы ( F ). Из рисунка видно, что:

\vec{r} = b \cdot \vec{j} + c \cdot \vec{k},

где ( \vec{j} ) и ( \vec{k} ) — единичные векторы осей ( y ) и ( z ).
Подставим значения:

\vec{r} = 0.3 \cdot \vec{j} + 0.2 \cdot \vec{k} \, \text{м}.

2. Зададим силу ( \vec{F} ):

Сила ( F ) направлена под углом ( \alpha = 30^\circ ) к плоскости ( yz ). Разложим её на компоненты:

 \vec{F} = F \cdot \cos(\alpha) \cdot \vec{j} + F \cdot \sin(\alpha) \cdot \vec{k}. 

Подставим значения:

 \vec{F} = 5 \cdot \cos(30^\circ) \cdot \vec{j} + 5 \cdot \sin(30^\circ) \cdot \vec{k}. 

Используем значения тригонометрических функций:
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.

Тогда:

 \vec{F} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \vec{j} + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \vec{k}. 

 \vec{F} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \vec{j} + \frac{5}{2} \cdot \vec{k} \, \text{Н}. 

3. Найдём момент силы ( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} ):

Векторное произведение вычисляется по определению:

 \vec{M} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 0 & 0.3 & 0.2 \ 0 & \frac{5\sqrt{3}}{2} & \frac{5}{2} \end{vmatrix}. 

Раскроем определитель:

 \vec{M} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 0.3 & 0.2 \ \frac{5\sqrt{3}}{2} & \frac{5}{2} \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0.2 \ 0 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0.3 \ 0 & \frac{5\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix}. 

Вычислим каждый определитель:

1. Для ( \vec{i} ):
    \begin{vmatrix} 0.3 & 0.2 \ \frac{5\sqrt{3}}{2} & \frac{5}{2} \end{vmatrix} = 0.3 \cdot \frac{5}{2} - 0.2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1.5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.5 - \sqrt{3}}{2}. 

2. Для ( \vec{j} ):
    \begin{vmatrix} 0 & 0.2 \ 0 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} = 0. 

3. Для ( \vec{k} ):
    \begin{vmatrix} 0 & 0.3 \ 0 & \frac{5\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix} = 0. 

Итак, момент:

 \vec{M} = \vec{i} \cdot \frac{1.5 - \sqrt{3}}{2}. 

4. Проекция момента на ось ( x ):

Так как момент имеет только компоненту по ( \vec{i} ), его проекция на ось ( x ) равна:

 M_x = \frac{1.5 - \sqrt{3}}{2} \, \text{Н·м}. 

Ответ:

M_x = \frac{1.5 - \sqrt{3}}{2} \, \text{Н·м}.