Объяснить, что происходит с частотой вращения системы (человек плюс скамья)

Предмет: Физика

Раздел: Механика, раздел «Закон сохранения момента импульса»

Задание: Человек стоит в центре вращающейся скамьи Жуковского и держит в опущенных руках гири. Когда он поднимает руки, расстояние между гирями увеличивается. Нужно объяснить, что происходит с частотой вращения системы (человек плюс скамья).

Решение:

1. Понимание исходной ситуации. При вращении человека вместе со скамьей, вся система (человек, гири и скамья) обладает моментом импульса. Момент импульса системы сохраняется, если на нее не действуют внешние силы и моменты сил. Момент импульса \( L \) для твердого тела, вращающегося вокруг оси, равен произведению момента инерции \( I \) на угловую скорость (или частоту вращения) \( \omega \): \[ L = I \cdot \omega \]
2. Закон сохранения момента импульса. В нашем случае внешние силы отсутствуют, а значит, момент импульса сохраняется. Это означает, что если изменяется момент инерции \( I \), то угловая скорость \( \omega \) должна измениться так, чтобы произведение \( I \cdot \omega \) оставалось постоянным: \[ I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2 \] Где: \( I_1 \) — момент инерции во время первого положения (когда гири опущены), \( \omega_1 \) — начальная угловая скорость; \( I_2 \) — момент инерции во втором положении (когда человек поднял гири), \( \omega_2 \) — угловая скорость во втором положении.
3. Момент инерции человека с гирями. Момент инерции системы (человек плюс гири) зависит от того, на каком расстоянии от оси вращения находятся массы системы (в данном случае — гири). Если человек поднимает руки и увеличивает расстояние гирь от центра вращения, момент инерции увеличивается.
   • Когда гири находятся близко к оси (опущены), момент инерции небольшой.
   • Когда гири уходят вдаль от оси вращения (подняты), момент инерции системы увеличивается.
4. Как изменится частота вращения? Так как момент инерции увеличивается (при поднятии гирь), а момент импульса \( L \) должен оставаться постоянным, угловая скорость или частота вращения \( \omega \) должна уменьшиться. То есть система начнет вращаться медленнее. Важный вывод: С увеличением момента инерции (при разводе гирь) частота вращения уменьшается, чтобы сохранить момент импульса.

Ответ:

Когда человек поднимает гири и расстояние между ними увеличивается, частота вращения человека и скамьи уменьшается.