Найти вертикальную реакцию в шарнире A

Предмет: Механика
Раздел: Статика, расчет балок

Дано:

• Длина балки L = 2000 мм
• Расстояние от опоры A до точки приложения момента: \alpha = 1400 мм
• Расстояние от точки приложения момента до опоры B: \beta = 600 мм
• Изгибающий момент в точке приложения: M = 2000000 \text{ Н·мм}

Задача: Найти вертикальную реакцию в шарнире A.

Анализ задачи:

Балка шарнирно оперта в точках A и B, на нее действует внешний момент M в точке, расположенной на расстоянии \alpha от опоры A.

Поскольку внешних вертикальных сил не приложено, вертикальные реакции R_A и R_B возникают только для уравновешивания момента.

Решение:

Обозначим вертикальные реакции в опорах как R_A и R_B.

Из условия равновесия по вертикали:

R_A + R_B = 0 — так как нет вертикальных нагрузок, только момент.

По уравнению моментов относительно точки A:

\sum M_A = 0

Изгибающий момент M действует в точке на расстоянии \alpha от A, создавая момент M (задан).

Реакция R_B создает момент относительно A:

M_{R_B} = R_B \times L

Уравнение моментов:

M - R_B \times L = 0 \implies R_B = \frac{M}{L}

Так как R_A + R_B = 0, то:

R_A = -R_B = -\frac{M}{L}

Подставим численные значения:

R_B = \frac{2000000 \text{ Н·мм}}{2000 \text{ мм}} = 1000 \text{ Н}

R_A = -1000 \text{ Н}

Отрицательный знак означает, что направление реакции в A противоположно принятому положительному направлению (обычно вверх).

Ответ:

Вертикальная реакция в шарнире A равна

R_A = -1000 \text{ Н}

(направлена вниз).