Найти ускорение системы

Предмет: Физика.

Раздел: Динамика (Законы Ньютона, механическое движение).

Условие задачи:

1. Масса бруска \( m_1 = 5 \, \text{кг} \) (лежит на наклонной плоскости под углом 30°).
2. Масса бруска \( m_2 = 3 \, \text{кг} \) (подвешен на веревке через блок).
3. Трения между плоскостью и бруском \( m_1 \) нет.
4. Требуется найти ускорение системы.

Шаги для решения задачи:

Для начала обозначим все силы, действующие на оба бруска.

Для бруска \( m_1 \) на наклонной плоскости:

• Сила тяжести, действующая на брусок \( m_1 \): \[ F_{\text{тяж1}} = m_1 \cdot g = 5 \, \text{кг} \cdot 9{,}8 \, \text{м/с}^2 = 49 \, \text{H}. \]
• Проекция силы тяжести на ось, параллельную наклонной плоскости: \[ F_{\text{тяж1}}^{\parallel} = m_1 \cdot g \cdot \sin \alpha = 49 \, \text{Н} \cdot \sin 30^\circ = 49 \cdot \frac{1}{2} = 24{,}5 \, \text{Н}. \]
• Проекция силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости: \[ F_{\text{тяж1}}^{\perp} = m_1 \cdot g \cdot \cos \alpha = 49 \, \text{Н} \cdot \cos 30^\circ = 49 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42{,}4 \, \text{Н}. \]

  Однако, эта составляющая нам не нужна, так как она компенсируется нормальной реакцией опоры.

Для бруска \( m_2 \) (подвесного):

• Сила тяжести, действующая на брусок \( m_2 \): \[ F_{\text{тяж2}} = m_2 \cdot g = 3 \, \text{кг} \cdot 9{,}8 \, \text{м/с}^2 = 29{,}4 \, \text{Н}. \]

Запишем уравнения для каждого бруска:

Для бруска \( m_1 \) на наклонной плоскости:

По второму закону Ньютона: \[ m_1 \cdot a = m_1 \cdot g \cdot \sin \alpha - T, \] где \( T \) — сила натяжения нити, \( a \) — ускорение системы.

Для бруска \( m_2 \):

\[ m_2 \cdot a = T - m_2 \cdot g. \]

Система уравнений:

Получаем две зависимости:

1. \( 5a = 24{,}5 - T. \)
2. \( 3a = T - 29{,}4. \)

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим \( T \): \[ T = 24{,}5 - 5a. \]
2. Подставим это во второе уравнение: \[ 3a = (24{,}5 - 5a) - 29{,}4. \]

Упростим: \[ 3a = 24{,}5 - 29{,}4 - 5a, \] \[ 3a = -4{,}9 - 5a. \]

Переносим увеличенные \( a \)-слагаемые в одну сторону: \[ 3a + 5a = -4{,}9, \] \[ 8a = -4{,}9. \]

Решаем для \( a \): \[ a = \frac{-4{,}9}{8} = -0{,}6125 \, \text{м/с}^2. \]

Ответ:

Ускорение системы: \[ a \approx 0{,}61 \, \text{м/с}^2. \]

Так как ускорение отрицательное, это означает, что брусок \( m_1 \) движется вверх по наклонной плоскости (в противоположном направлении относительно выбранного нами положительного направления).