Найти угол поворота элемента, при котором на новом элементе будут действовать только нормальные напряжения, то есть касательные напряжения будут равны нулю

Предмет: Механика материалов
Раздел: Теория напряжений, преобразование напряжений

Дано:

• Нормальные напряжения:
   \sigma_x = 55 \text{ МПа} 
   \sigma_y = 72 \text{ МПа} 
• Касательное напряжение:
   \tau_{xy} = 44 \text{ МПа} 

Задача: Найти угол поворота элемента, при котором на новом элементе будут действовать только нормальные напряжения, то есть касательные напряжения будут равны нулю.

Теоретическая основа

При повороте элемента на угол  \theta  (против часовой стрелки) напряжения преобразуются по формулам:

 \begin{cases} \sigma_x' = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta \ \sigma_y' = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta - \tau_{xy} \sin 2\theta \ \tau_{x'y'} = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta \end{cases} 

Для того чтобы на новом элементе не было касательных напряжений, нужно, чтобы:

 \tau_{x'y'} = 0 

Подставим:

 0 = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta 

Решение

Переносим слагаемые:

 \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta = \tau_{xy} \cos 2\theta 

Делим обе части на  \cos 2\theta  (при условии, что  \cos 2\theta \neq 0 ):

 \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \tan 2\theta = \tau_{xy} 

Отсюда:

 \tan 2\theta = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} 

Подставим численные значения:

 \tan 2\theta = \frac{2 \times 44}{55 - 72} = \frac{88}{-17} = -5.1765 

Найдем угол:

 2\theta = \arctan(-5.1765) 

Вычислим значение арктангенса (в градусах):

 2\theta \approx -79.0^\circ 

Угол  \theta :

 \theta = \frac{-79.0^\circ}{2} = -39.5^\circ 

Итог:

Угол поворота элемента, при котором касательные напряжения будут равны нулю, равен примерно:

 \boxed{ \theta \approx -39.5^\circ } 

Отрицательный знак означает поворот по часовой стрелке. Если нужен положительный угол, можно добавить 180° к углу поворота (так как угол поворота нормальных напряжений повторяется через 90°, то можно взять):

 \theta \approx 90^\circ - 39.5^\circ = 50.5^\circ 

Ответ:

Элемент необходимо повернуть на угол примерно  39.5^\circ  (по часовой стрелке) или  50.5^\circ  (против часовой стрелки), чтобы в нём действовали только нормальные напряжения.