Найти момент всех приложенных сил относительно оси

Предмет: физика Раздел: динамика, вращательное движение тел, момент сил

Условие задачи

На диск с радиусом \( R \) и моментом инерции \( I \) приложены четыре силы \( F_1 \), \( F_2 \), \( F_3 \), \( F_4 \). Центр диска — точка \( О \), через которую проходит ось вращения, перпендикулярная плоскости диска. Необходимо найти уравнение вращательного движения диска.

Решение

Момент силы относительно центра вращения \( O \) можно найти по формуле:

\[ M = r \cdot F \cdot \sin(\alpha) \]

где:

• \( M \) — момент силы относительно оси,
• \( r \) — расстояние от оси до точки приложения силы,
• \( F \) — величина силы,
• \( \alpha \) — угол между вектором силы и радиусом-вектором.

Для того чтобы найти момент всех приложенных сил относительно оси \( O \), нужно рассмотреть моменты всех четырёх сил отдельно.

Момент силы \( F_1 \)

Сила \( F_1 \) направлена вдоль радиуса, поэтому момент этой силы относительно оси вращения будет равен нулю. Угол \( \alpha = 0^{\circ} \), следовательно:

\[ M_1 = 0 \]

Момент силы \( F_2 \)

Сила \( F_2 \) перпендикулярна радиусу \( R \), и её плечо равно \( R \). Угол между радиусом и силой \( \alpha = 90^{\circ} \). Следовательно, момент силы \( F_2 \) равен:

\[ M_2 = R \cdot F_2 \]

Момент направлен против часовой стрелки (положительное направление).

Момент силы \( F_3 \)

Плечо силы \( F_3 \) — это половина радиуса, \( R / 2 \), так как она приложена к точке, находящейся на расстоянии \( R/2 \) от оси. Угол между радиусом и силой \( \alpha = 90^{\circ} \), следовательно:

\[ M_3 = \frac{R}{2} \cdot F_3 \]

Момент направлен по часовой стрелке (отрицательное направление).

Момент силы \( F_4 \)

Плечо силы \( F_4 \) также равно радиусу \( R \), и угол между радиусом и силой — \( 90^{\circ} \). Момент силы \( F_4 \) равен:

\[ M_4 = R \cdot F_4 \]

Момент направлен по часовой стрелке (отрицательное направление).

Уравнение движения

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения, сумма моментов всех сил равна моменту инерции, умноженному на угловое ускорение \( \varepsilon \):

\[ I \varepsilon = \sum M \]

Суммируем все моменты:

\[ \sum M = M_2 - M_3 - M_4 = R \cdot F_2 - \frac{R}{2} \cdot F_3 - R \cdot F_4 \]

Подставляем это в уравнение движения:

Угловое ускорение \( \varepsilon \) можно выразить как:

\[ \varepsilon = \frac{R \cdot F_2 - \frac{R}{2} \cdot F_3 - R \cdot F_4}{I} \]

Ответ:

Уравнение движения имеет вид: