Найти координаты центра масс не переходя к сферическим координатам

Предмет: Механика
Раздел: Статика, центр масс

Дано однородное тело, ограниченное поверхностями:
y = 3\sqrt{x^2 + z^2},
x^2 + z^2 = 16,
y = 0.

Нужно найти координаты центра масс тела, не переходя к сферическим координатам.

1. Анализ задачи

Тело однородное, значит плотность \rho = const. Центр масс определяется как
 \bar{x} = \frac{1}{V} \int_V x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \int_V y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \int_V z \, dV, 
где V — объем тела.

2. Геометрия тела

Поверхность y = 3\sqrt{x^2 + z^2} задаёт конус с осью вдоль оси y (конус с вершиной в начале координат и углом наклона).
Поверхность x^2 + z^2 = 16 — цилиндр радиуса 4 вдоль оси y.
Поверхность y = 0 — плоскость основания.

Тело — часть конуса, ограниченная цилиндром радиуса 4 и плоскостью y=0.

3. Симметрия

Из-за симметрии относительно плоскости x=0 и z=0 (цилиндр и конус симметричны относительно осей x и z),
\bar{x} = 0, \quad \bar{z} = 0.

Остаётся найти только \bar{y}.

4. Выражение объёма и центра масс по y

Пусть r = \sqrt{x^2 + z^2}. Тогда тело описывается:
0 \leq y \leq 3r, \quad r \leq 4.

Для каждого фиксированного r, y меняется от 0 до 3r.

Объем тела можно представить в виде интеграла:
 V = \int_{r=0}^4 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{y=0}^{3r} r \, dy \, d\theta \, dr, 
где в цилиндрических координатах объёмный элемент dV = r \, dy \, d\theta \, dr.

5. Вычисление объёма

Интегрируем по y:
 \int_0^{3r} dy = 3r. 

Подставляем:
 V = \int_0^4 \int_0^{2\pi} 3r \cdot r \, d\theta \, dr = \int_0^4 \int_0^{2\pi} 3r^2 \, d\theta \, dr. 

Интегрируем по \theta:
 \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi. 

Итог:
 V = \int_0^4 3r^2 \cdot 2\pi \, dr = 6\pi \int_0^4 r^2 \, dr = 6\pi \cdot \frac{4^3}{3} = 6\pi \cdot \frac{64}{3} = 128\pi. 

6. Вычисление \bar{y}

 \bar{y} = \frac{1}{V} \int_V y \, dV = \frac{1}{V} \int_0^4 \int_0^{2\pi} \int_0^{3r} y \cdot r \, dy \, d\theta \, dr. 

Интегрируем по y:
 \int_0^{3r} y \, dy = \frac{(3r)^2}{2} = \frac{9r^2}{2}. 

Подставляем:
 \bar{y} = \frac{1}{V} \int_0^4 \int_0^{2\pi} \frac{9r^2}{2} \cdot r \, d\theta \, dr = \frac{1}{V} \int_0^4 \int_0^{2\pi} \frac{9r^3}{2} \, d\theta \, dr. 

Интегрируем по \theta:
 \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi. 

Получаем:
 \bar{y} = \frac{1}{128\pi} \int_0^4 \frac{9r^3}{2} \cdot 2\pi \, dr = \frac{1}{128\pi} \cdot 9\pi \int_0^4 r^3 \, dr = \frac{9\pi}{128\pi} \cdot \frac{4^4}{4} = \frac{9}{128} \cdot 256 = \frac{9 \cdot 256}{128} = 18. 

7. Ответ

Координаты центра масс:
 \boxed{ \bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 18, \quad \bar{z} = 0. }