Найти координаты центра масс

Предмет: Механика
Раздел: Статика, Центр масс

Дано тело, ограниченное поверхностями:
y = 3\sqrt{x^2 + z^2},
x^2 + z^2 = 16,
y = 0.

Тело однородное, значит плотность постоянна, и центр масс совпадает с центром геометрии тела.

Шаг 1. Анализ области

Поверхность y = 3\sqrt{x^2 + z^2} задает верхнюю границу тела.
Поверхность y = 0 — нижняя граница (плоскость).
Поверхность x^2 + z^2 = 16 — боковая граница, цилиндр радиуса 4.

Таким образом, тело — это цилиндр радиуса 4 с высотой, заданной функцией y = 3r, где r = \sqrt{x^2 + z^2}.

Шаг 2. Переход к цилиндрическим координатам

Пусть
x = r \cos \theta, \quad z = r \sin \theta, \quad y = y,
где r \in [0,4], \theta \in [0, 2\pi], y \in [0, 3r].

Шаг 3. Объем тела

Объем
V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 \int_0^{3r} r \, dy \, dr \, d\theta
(здесь r — якобиан перехода к цилиндрическим координатам).

Вычислим:
V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^4 r \left( \int_0^{3r} dy \right) dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^4 r \cdot 3r \, dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^4 3r^2 \, dr

= 2\pi \cdot 3 \int_0^4 r^2 \, dr = 6\pi \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^4 = 6\pi \cdot \frac{64}{3} = 128 \pi

Шаг 4. Координаты центра масс

Поскольку тело однородное, плотность постоянна, центр масс вычисляется как среднее значение координат по объему.

• Координата y_c:

y_c = \frac{1}{V} \int_V y \, dV

В цилиндрических координатах:

y_c = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^4 \int_0^{3r} y \cdot r \, dy \, dr \, d\theta

Интегрируем по y:

\int_0^{3r} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{3r} = \frac{(3r)^2}{2} = \frac{9r^2}{2}

Подставляем:

y_c = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^4 r \cdot \frac{9r^2}{2} dr = \frac{1}{V} \cdot 2\pi \cdot \frac{9}{2} \int_0^4 r^3 dr = \frac{9\pi}{V} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^4 = \frac{9\pi}{V} \cdot \frac{256}{4} = \frac{9\pi \cdot 64}{V} = \frac{576 \pi}{V}

Подставляем V = 128 \pi:

y_c = \frac{576 \pi}{128 \pi} = \frac{576}{128} = 4.5

• Координаты x_c и z_c:

Из-за симметрии тела относительно плоскостей x=0 и z=0:

x_c = 0, \quad z_c = 0.

Ответ:

(x_c, y_c, z_c) = (0, 4.5, 0).

Если нужно, могу подробно расписать шаги интегрирования.