Имеется конструкция, в которой горизонтальная балка по длине подпирается вертикальными стержнями с шагом b. Требуется подобрать поперечные размеры стержня

Предмет: Механика материалов, раздел: Расчет на прочность и устойчивость элементов конструкций

Дана задача по определению поперечных размеров вертикального стержня (трубы) в конструкции, где горизонтальная балка подпирается вертикальными стержнями с шагом [b].

Дано:

 \begin{cases} q = 1000 \, \text{Н/м} \ L = 3 \, \text{м} \ b = 5 \, \text{м} \ E = 210000 \, \text{МПа} = 210 \times 10^9 \, \text{Па} \ \text{соединение шарнирное} \ t = 0.1 D \ k = 2 \ \end{cases} 

Цель:

Подобрать диаметр D трубы (стержня), учитывая заданные условия.

Анализ задачи:

1. Горизонтальная балка с равномерной нагрузкой q опирается на вертикальные стержни с шагом b. Значит, нагрузка на один стержень:

 P = q \cdot b \end{formula} 2. Вертикальный стержень воспринимает сжатие под действием нагрузки P.

3. Стержень — труба с толщиной стенки t = 0.1 D.

4. Стержень шарнирно закреплен у основания (шарнирное опирание), значит, его длина L — длина свободного изгиба (или длина стержня для расчёта устойчивости).

5. Требуется проверить устойчивость стержня (задача на устойчивость при сжатии).

Шаг 1. Рассчитаем нагрузку на один стержень:

 P = q \cdot b = 1000 \, \text{Н/м} \times 5 \, \text{м} = 5000 \, \text{Н} \end{formula> --- ### Шаг 2. Определим момент инерции и площадь сечения трубы Сечение — труба с толщиной стенки t = 0.1 D.

Внешний диаметр — D, внутренний диаметр — d = D - 2t = D - 2 \cdot 0.1 D = D - 0.2 D = 0.8 D.

Площадь поперечного сечения:

 A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2) = \frac{\pi}{4} (D^2 - (0.8 D)^2) = \frac{\pi}{4} D^2 (1 - 0.64) = \frac{\pi}{4} D^2 \times 0.36 = 0.09 \pi D^2 \end{formula> Момент инерции относительно оси, проходящей через центр (для круглой трубы): I = \frac{\pi}{64} (D^4 - d^4) = \frac{\pi}{64} (D^4 - (0.8 D)^4) = \frac{\pi}{64} D^4 (1 - 0.8^4) = \frac{\pi}{64} D^4 (1 - 0.4096) = \frac{\pi}{64} D^4 \times 0.5904 \end{formula> --- ### Шаг 3. Рассчитаем критическую нагрузку устойчивости (формула Эйлера): Для стержня с шарнирными опорами: P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2} \end{formula> --- ### Шаг 4. Условие прочности с учетом коэффициента безопасности k:

Для надежной работы:

 k \cdot P \leq P_{cr} \end{formula> Подставим: k P \leq \frac{\pi^2 E I}{L^2} \end{formula> --- ### Шаг 5. Подставим выражение для I:

 k P \leq \frac{\pi^2 E}{L^2} \times \frac{\pi}{64} D^4 \times 0.5904 \end{formula> Упростим: k P \leq \frac{\pi^3 E}{64 L^2} \times 0.5904 \, D^4 \end{formula> --- ### Шаг 6. Выразим D:

 D^4 \geq \frac{64 L^2 k P}{\pi^3 E \times 0.5904} \end{formula> --- ### Шаг 7. Подставим числовые значения (в системе СИ): \begin{cases} L = 3 \, \text{м} \ k = 2 \ P = 5000 \, \text{Н} \ E = 210 \times 10^9 \, \text{Па} \ \pi \approx 3.1416 \end{cases} \end{formula> Подставим в формулу: D^4 \geq \frac{64 \times 3^2 \times 2 \times 5000}{3.1416^3 \times 210 \times 10^9 \times 0.5904} \end{formula> Вычислим числитель: 64 \times 9 \times 2 \times 5000 = 64 \times 9 \times 10000 = 64 \times 90000 = 5\,760\,000 \end{formula> Вычислим знаменатель: 3.1416^3 = 31.006 \ 31.006 \times 210 \times 10^9 \times 0.5904 \approx 31.006 \times 210 \times 0.5904 \times 10^9 \end{formula> Сначала посчитаем 31.006 \times 210 = 6511.26

Затем 6511.26 \times 0.5904 = 3843.3

Итого знаменатель:

3843.3 \times 10^9 = 3.8433 \times 10^{12}

Теперь:

 D^4 \geq \frac{5.76 \times 10^6}{3.8433 \times 10^{12}} = 1.5 \times 10^{-6} \end{formula> --- ### Шаг 8. Найдем D:

 D \geq \sqrt[4]{1.5 \times 10^{-6}} = (1.5 \times 10^{-6})^{0.25} \end{formula> Посчитаем: 1.5^{0.25} \approx 1.106 \ (10^{-6})^{0.25} = 10^{-6 \times 0.25} = 10^{-1.5} = 0.03162 \end{formula> Следовательно: D \geq 1.106 \times 0.03162 = 0.035 \, \text{м} = 35 \, \text{мм} \end{formula> --- ### Ответ: Минимальный диаметр трубы: \boxed{D = 35 \, \text{мм}} \end{formula> --- Если требуется округлить в большую сторону, то ответ будет 35 \, \text{мм}.