Верно ли утверждение, что критическое напряжение в сжатом стержня прямо пропорционально размеру поперечного сечения этого стержня

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Устойчивость стержней

Для ответа на вопрос, рассмотрим теоретическую основу устойчивости сжатого стержня. Критическое напряжение, при котором стержень теряет устойчивость, определяется формулой Эйлера для длинных стержней:

 \sigma_{кр} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2} ,

где:

• \sigma_{кр} — критическое напряжение,
• E — модуль упругости материала,
• \lambda — гибкость стержня, определяемая как \lambda = \frac{l}{i},
• l — расчетная длина стержня,
• i — радиус инерции поперечного сечения, который равен i = \sqrt{\frac{I}{A}},
• I — момент инерции поперечного сечения,
• A — площадь поперечного сечения.

Рассмотрим зависимость критического напряжения от площади поперечного сечения A. Радиус инерции i зависит от площади сечения, так как i = \sqrt{\frac{I}{A}}. Момент инерции I, в свою очередь, также зависит от геометрии поперечного сечения. Однако критическое напряжение \sigma_{кр} не зависит напрямую от площади сечения A, а определяется гибкостью стержня \lambda, которая связана с радиусом инерции.

Вывод: Утверждение неверно, так как критическое напряжение в сжатом стержне зависит от гибкости стержня, а не прямо пропорционально площади поперечного сечения.