Составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору

Определение предмета и раздела

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Статика. Определение реакций опор

Решение задачи

1. Определение внешних нагрузок и реакций опор

Дано:

• Распределенная нагрузка ( q = 1 ) Н/м на участке ( AB ) (длиной 3 м).
• Сосредоточенная сила ( F = 12 ) Н, приложенная в точке ( C ).
• Пара сил (момент) ( M = 10 ) Н·м, приложенная в точке ( C ).
• Угол наклона силы ( F ) — ( \alpha = 120^\circ ).
• Опоры:
  • В точке ( B ) — шарнирно-неподвижная опора (реакции ( R{Bx}, R{By} )).
  • В точке ( D ) — шарнирно-подвижная опора (реакция ( R_D )).

2. Уравнения равновесия

Запишем уравнения равновесия для балки.

1. Сумма горизонтальных сил:
   FORMULAPLACEHOLDER
    Так как горизонтальных сил (кроме возможной реакции ( R{Bx} )) нет, то:
   \sum F_x = 0

2. Сумма вертикальных сил:
   R_{Bx} = 0
   \sum F_y = 0
   Подставим значения:
   R_{By} + R_D - (q \cdot 3) - F_y = 0
   R_{By} + R_D - (1 \cdot 3) - (12 \cdot \sin 120^\circ) = 0
   R_{By} + R_D - 3 - (12 \cdot 0.866) = 0
   R_{By} + R_D - 3 - 10.392 = 0

3. Сумма моментов относительно точки ( B ):
   R_{By} + R_D = 13.392
   Учитываем моменты всех сил относительно точки ( B ):

   • Распределенная нагрузка ( q ) создает момент:
     \sum M_B = 0
   • Сила ( F_y ) создает момент:
     M_q = q \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot 3 \cdot 1.5 = 4.5
   • Пара сил (момент) ( M = 10 ) Н·м уже задана.
   • Реакция ( R_D ) создает момент:
     M_F = 12 \cdot \sin 120^\circ \cdot 3 = 10.392 \cdot 3 = 31.176

4. Составим уравнение:
   M_{R_D} = R_D \cdot 6
   -4.5 - 31.176 - 10 + R_D \cdot 6 = 0
   R_D \cdot 6 = 45.676

3. Определение ( R_{By} )

Подставим ( R_D ) в уравнение суммы сил:
R_D = 7.613 \text{ Н}
R_{By} + 7.613 = 13.392

4. Проверка правильности расчетов

Проверим уравнение моментов относительно другой точки, например, ( D ).

Запишем уравнение моментов относительно ( D ):
R_{By} = 5.779 \text{ Н}

\sum M_D = 0

Подставим числовые значения:
-R_{By} \cdot 6 + (q \cdot 3 \cdot 7.5) + (F_y \cdot 3) + 10 = 0
-5.779 \cdot 6 + (1 \cdot 3 \cdot 7.5) + (10.392 \cdot 3) + 10 = 0
-34.674 + 22.5 + 31.176 + 10 = 0

Уравнение выполняется, следовательно, расчеты верны.

5. Определение наиболее нагруженной опоры

Сравним величины реакций:

• ( R_{By} = 5.779 ) Н
• ( R_D = 7.613 ) Н

Наибольшая реакция в опоре ( D ), следовательно, наиболее нагруженная опора — D.

Вывод

1. Реакции опор определены:
   • ( R_{By} = 5.779 ) Н
   • ( R_D = 7.613 ) Н
2. Проверка по уравнению моментов относительно другой точки подтверждает правильность расчетов.
3. Наиболее нагруженная опора — D, так как ее реакция больше.