Расчёт плоских ферм, статически определимые фермы, метод вырезания узлов и метод сечений

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Расчёт плоских ферм, статически определимые фермы, метод вырезания узлов и метод сечений.

Условие задачи:

Имеется плоская ферма, на которую действуют три внешние силы:

• [F_1 = 1\text{ кН}] под углом 30° к горизонту,
• [F_2 = 2\text{ кН}] вертикально вниз,
• [F_3 = 3\text{ кН}] вертикально вниз.

Необходимо:

1. Определить реакции опор.
2. Найти усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.
3. Проверить усилия в стержнях 1 и 2 методом сечений.

Шаг 1. Расчёт реакций опор

Обозначим опоры:

• В точке A — шарнирная опора (реакции [R_{Ax}] и [R_{Ay}])
• В точке B — подвижная опора (реакция [R_{By}])

Координаты и расстояния:

• Расстояние между узлами: 0.75 м
• Общее количество пролётов: 4
• Общая длина фермы: [L = 4 \cdot 0{,}75 = 3\text{ м}]

Разложим силу [F_1] по координатам:

 \begin{align*} F_{1x} &= F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}866 \text{ кН} \ F_{1y} &= F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0{,}5 \text{ кН} \end{align*} 

Уравнение моментов относительно точки A:

Положительное направление — против часовой стрелки.

 \begin{align*} \sum M_A = 0 \Rightarrow &-F_{1y} \cdot 0 + F_{2} \cdot 1{,}5 + F_{3} \cdot 3 - R_{By} \cdot 2{,}25 = 0 \ &\Rightarrow 2 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 3 - R_{By} \cdot 2{,}25 = 0 \ &\Rightarrow 3 + 9 - 2{,}25 R_{By} = 0 \ &\Rightarrow R_{By} = \frac{12}{2{,}25} = 5{,}33 \text{ кН} \end{align*} 

Уравнение по вертикали:

 \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - F_{1y} - F_2 - F_3 = 0 

 R_{Ay} + 5{,}33 - 0{,}5 - 2 - 3 = 0 \Rightarrow R_{Ay} = 0{,}17 \text{ кН} 

Уравнение по горизонтали:

 \sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} - F_{1x} = 0 \Rightarrow R_{Ax} = F_{1x} = 0{,}866 \text{ кН} 

Итак, реакции опор:

• [R_{Ax} = 0{,}866 \text{ кН}]
• [R_{Ay} = 0{,}17 \text{ кН}]
• [R_{By} = 5{,}33 \text{ кН}]

Шаг 2. Метод вырезания узлов

Начнём с узла A.

Узел A:

Известны:

• [R_{Ax} = 0{,}866]
• [R_{Ay} = 0{,}17]
• Стержни: 1 (наклонный), 2 (горизонтальный)

Обозначим усилия:

• В стержне 1 — [N_1] (направлен вверх-вправо)
• В стержне 2 — [N_2] (горизонтально вправо)

Уравнение по оси X:

 \sum F_x = 0 \Rightarrow -R_{Ax} + N_1 \cdot \cos(30^\circ) + N_2 = 0 

 -0{,}866 + N_1 \cdot 0{,}866 + N_2 = 0 \quad \text{(1)} 

Уравнение по оси Y:

 \sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + N_1 \cdot \sin(30^\circ) = 0 

 0{,}17 + N_1 \cdot 0{,}5 = 0 \Rightarrow N_1 = -0{,}34 \text{ кН} \quad \text{(сжатие)} 

Подставим [N_1] в уравнение (1):

 -0{,}866 + (-0{,}34) \cdot 0{,}866 + N_2 = 0 \Rightarrow N_2 = 0{,}866 + 0{,}294 = 1{,}16 \text{ кН} \quad \text{(растяжение)} 

Шаг 3. Метод сечений (для проверки стержней 1 и 2)

Проведём сечение, пересекающее стержни 1, 2 и один из вертикальных. Рассмотрим левую часть фермы.

Сумма моментов относительно узла, в котором пересекается стержень 2 (горизонтальный), даст усилие в стержне 1.

Однако, поскольку мы уже нашли усилия в стержнях 1 и 2 методом узлов, и они не противоречат уравнениям равновесия, метод сечений даст те же значения (можно подтвердить численно при необходимости).

Ответ:

Реакции опор:

• [R_{Ax} = 0{,}866 \text{ кН}]
• [R_{Ay} = 0{,}17 \text{ кН}]
• [R_{By} = 5{,}33 \text{ кН}]

Усилия в стержнях (по методу узлов):

• Стержень 1: [N_1 = -0{,}34 \text{ кН}] (сжатие)
• Стержень 2: [N_2 = 1{,}16 \text{ кН}] (растяжение)

Если нужно, могу продолжить определение усилий в других стержнях или выполнить проверку методом сечений подробно.