Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, а затем найти максимальный по модулю изгибающий момент

Предмет: Механика строительных конструкций
Раздел: Сопротивление материалов — расчёт балок на изгиб

Дано:

• Непрерывно распределённая нагрузка: q = 20 \text{ Н/мм} = 20 \times 10^3 \text{ Н/м} (переводим в Н/м, так как длины в метрах)
• Сосредоточенная сила: P = 20\,000 \text{ Н}
• Длина участка с нагрузкой: a = 4 \text{ м}
• Длина консоли: b = 2 \text{ м}

Задача:

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, а затем найти максимальный по модулю изгибающий момент.

Шаг 1. Определение реакций опор

Обозначим опоры:

• Левая опора: A (шарнирная)
• Правая опора: B (шарнирная)

Балка состоит из двух частей:

• От A до B длиной a = 4 \text{ м}, на которую действует равномерно распределённая нагрузка q.
• Консоль длиной b = 2 \text{ м} с сосредоточенной силой P на конце.

Шаг 2. Силы и моменты

Распределённая нагрузка на участке a равна:

Q = q \times a = 20\,000 \times 4 = 80\,000 \text{ Н}

Шаг 3. Уравнения равновесия

Сумма вертикальных сил:

R_A + R_B = Q + P = 80\,000 + 20\,000 = 100\,000 \text{ Н}

Сумма моментов относительно точки A:

\sum M_A = 0 \Rightarrow -R_B \times (a + b) + Q \times \frac{a}{2} + P \times (a + b) = 0

Подставим значения:

-R_B \times 6 + 80\,000 \times 2 + 20\,000 \times 6 = 0

-6 R_B + 160\,000 + 120\,000 = 0

-6 R_B + 280\,000 = 0 \Rightarrow R_B = \frac{280\,000}{6} = 46\,666.67 \text{ Н}

Теперь находим R_A:

R_A = 100\,000 - 46\,666.67 = 53\,333.33 \text{ Н}

Шаг 4. Эпюра поперечных сил

• На участке 0 \leq x \leq a (участок с нагрузкой):

V(x) = R_A - q x = 53\,333.33 - 20\,000 x

• В точке B (x = 4 м) поперечная сила:

V(4) = 53\,333.33 - 20\,000 \times 4 = 53\,333.33 - 80\,000 = -26\,666.67 \text{ Н}

• На консоли a < x \leq a + b:

Поперечная сила постоянна и равна:

V = -R_B = -46\,666.67 \text{ Н}

(минус, так как направлена вниз)

Шаг 5. Эпюра изгибающих моментов

• На участке 0 \leq x \leq a:

M(x) = R_A x - \frac{q x^2}{2} = 53\,333.33 x - 10\,000 x^2

• Максимум момента на участке с нагрузкой достигается при V(x) = 0:

V(x) = 53\,333.33 - 20\,000 x = 0 \Rightarrow x = \frac{53\,333.33}{20\,000} = 2.6667 \text{ м}

Подставим в M(x):

M_{max1} = 53\,333.33 \times 2.6667 - 10\,000 \times (2.6667)^2 = 142,222.22 - 71,111.11 = 71,111.11 \text{ Н·м}

• На консоли a < x \leq a + b изгибающий момент:

M(x) = M(a) - R_B (x - a)

Где

M(a) = 53\,333.33 \times 4 - 10\,000 \times 16 = 213,333.33 - 160,000 = 53,333.33 \text{ Н·м}

Максимальный момент на консоли в точке x = a + b = 6 \text{ м}:

M(6) = 53,333.33 - 46,666.67 \times (6 - 4) = 53,333.33 - 93,333.33 = -40,000 \text{ Н·м}

Шаг 6. Наибольший по модулю изгибающий момент

Сравним полученные моменты:

• |M_{max1}| = 71,111.11 \text{ Н·м}
• |M(6)| = 40,000 \text{ Н·м}

Максимальный по модулю момент:

M_{max} = 71,111.11 \text{ Н·м}

Шаг 7. Перевод в Н·мм

1 \text{ Н·м} = 1000 \text{ Н·мм}

Значит,

M_{max} = 71,111.11 \times 1000 = 71,111,110 \text{ Н·мм}

Ответ:

\boxed{71\,111\,110 \text{ Н·мм}} — наибольший по модулю изгибающий момент в балке.