Определение предмета:
Это задание относится к сопротивлению материалов (структурной механике), раздел — расчет эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балки.
Этапы решения:
- Найдем опорные реакции.
- Построим эпюры поперечной силы.
- Построим эпюры изгибающего момента.
1. Определение опорных реакций:
Для начала обозначим опорные реакции:
- Опора слева даёт вертикальную реакцию \( A_y \),
- Опора справа даёт вертикальную реакцию \( B_y \).
Для расчета опорных реакций используем условие равновесия (статические уравнения равновесия):
\[ \sum M_A = 0, \, \sum M_B = 0, \, \sum F_y = 0 \]
Расчёт моментов относительно точки \( A \) (левая опора):
Сумма моментов относительно точки \( A \):
\[ M_A = B_y \cdot 1,5 - q \cdot l \cdot \frac{l}{2} - M - F \cdot 0,5 = 0 \]
Подставляем известные значения:
\[ B_y \cdot 1,5 - 4000 \cdot 0,5 \cdot 0,25 - 500 - 3000 \cdot 0,5 = 0 \]
\[ 1,5 \cdot B_y = 750 + 500 + 1500 \]
\[ B_y = \frac{2750}{1,5} = 1833,33 \, \text{Н} \]
Теперь используем уравнение суммы вертикальных сил для определения \( A_y \):
\[ A_y + B_y = q \cdot l + F = 4000 \cdot 0,5 + 3000 \]
\[ A_y + 1833,33 = 2000 + 3000 \]
\[ A_y = 5000 - 1833,33 = 3166,67 \, \text{Н} \]
2. Построение эпюры поперечной силы.
Теперь определим поперечные силы на каждом участке балки.
- Участок 1 (слева до свободного момента): Здесь действует распределённая нагрузка \( q = 4000 \,\text{Н/м} \) и реакция \( A_y = 3166,67 \, \text{Н} \). Начало эпюры на уровне \( A_y = 3166,67 \). В конце этого участка (после распределённой нагрузки):
\[ V_1 = A_y - q \cdot l = 3166,67 - 4000 \cdot 0,5 = 3166,67 - 2000 = 1166,67 \, \text{Н} \]
- Участок 2 (после свободного момента и до силы \( F \)): Здесь нет распределённых нагрузок, но есть момент \( M = 500 \, \text{Н} \cdot \text{м} \). Поперечная сила остаётся постоянной на уровне \( 1166,67 \, \text{Н} \).
- Участок 3 (после приложения силы \( F \)): Здесь действует вертикальная сила \( F = 3000 \, \text{Н} \). В начале поперечная сила равна \( 1166,67 \), а после приложения силы \( F \):
\[ V_3 = 1166,67 - 3000 = -1833,33 \, \text{Н} \]
Таким образом, получаем следующие значения поперечных сил:
- \( V_1(слева) = 3166,67 \, \text{Н} \),
- \( V_1(справа) = 1166,67 \, \text{Н} \),
- На участке 2 поперечная сила остаётся постоянной \( V = 1166,67 \, \text{Н} \),
- \( V_3 = -1833,33 \, \text{Н} \).
Эпюра поперечной силы:
- На первом участке растёт линейно от \( 3166,67 \, \text{Н} \) до \( 1166,67 \, \text{Н} \).
- На втором участке величина постоянная \( 1166,67 \, \text{Н} \).
- На третьем после применения точечной силы идёт скачок до \( -1833,33 \, \text{Н} \).
3. Построение эпюры изгибающего момента.
Теперь построим эпюру изгибающего момента:
- Участок 1 (от начала до свободного момента): Момент на любом участке \( x \) балки с распределенной нагрузкой вычисляется как:
\[ M_1(x) = A_y \cdot x - q \cdot \frac{x^2}{2} \]
В точке \( x = 0 \) момент равен \( 0 \), а в конце участка (\( x = 0,5 \)):
\[ M_1 = 3166,67 \cdot 0,5 - 4000 \cdot \frac{0,5^2}{2} = 1583,33 - 500 = 1083,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \]
- Участок 2 (после приложения момента \( M \)): Добавляем внешний момент \( M = 500 \, \text{Н} \cdot \text{м} \), и на этом участке момент:
\[ M_2 = 1083,33 + 500 = 1583,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \]
Далее вычитаем из этого момента действие точечной силы \( F \):
Эпюра изгибающего момента:
- Момент на первом участке плавно возрастает от \( 0 \) до \( 1083,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).
- На втором участке момент скачкообразно увеличивается до \( 1583,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \) после действия свободного момента.
- На третьем участке момент уменьшается линейно до значения \( 666,66 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).
Результаты:
- Опорные реакции:
- \( A_y = 3166,67 \, \text{Н} \)
- \( B_y = 1833,33 \, \text{Н} \)
- Эпюра поперечной силы:
- На первом участке от \( 3166,67 \, \text{Н} \) до \( 1166,67 \, \text{Н} \).
- На втором участке постоянная величина \( 1166,67 \, \text{Н} \).
- На третьем участке \( V = -1833,33 \, \text{Н} \).
- Эпюра изгибающего момента:
- Первый участок: момент возрастает от \( 0 \) до \( 1083,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).
- Второй участок: момент увеличивается до \( 1583,33 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).
- Третий участок: момент линейно уменьшается до \( 666,66 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).