Подобрать диаметр круглого стержня, чтобы он не потерял устойчивость при сжатии

Предмет: Механика
Раздел: Сопротивление материалов, Расчёт на устойчивость

Задача: Подобрать диаметр круглого стержня, чтобы он не потерял устойчивость при сжатии.

Дано:

• Длина стержня L = 2.2 \text{ м}
• Сжимающая сила P = 5000 \text{ Н}
• Модуль Юнга E = 70000 \text{ МПа} = 7 \times 10^{10} \text{ Па}
• Один конец стержня защемлён, другой свободный

Шаг 1: Определение критической силы потери устойчивости

Для стержня с одним концом защемлённым, а другим свободным, критическая сила потери устойчивости по формуле Эйлера:

 P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} 

где:

• I — момент инерции поперечного сечения
• K — коэффициент эффективной длины стержня

Для случая "один конец защемлён, другой свободен" коэффициент K = 2.

Шаг 2: Момент инерции для круглого сечения

Для круглого сечения диаметром d момент инерции относительно оси, перпендикулярной к сжимающей силе:

 I = \frac{\pi d^4}{64} 

Шаг 3: Подставим в формулу критической силы

 P_{cr} = \frac{\pi^2 E \frac{\pi d^4}{64}}{(2 L)^2} = \frac{\pi^3 E d^4}{64 \cdot 4 L^2} = \frac{\pi^3 E d^4}{256 L^2} 

Шаг 4: Требование устойчивости

Чтобы стержень не потерял устойчивость, приложенная сила должна быть меньше или равна критической:

 P \leq P_{cr} 

Подставим выражение для P_{cr} и выразим d:

 P \leq \frac{\pi^3 E d^4}{256 L^2} \implies d^4 \geq \frac{256 L^2 P}{\pi^3 E} 

Отсюда:

 d \geq \sqrt[4]{\frac{256 L^2 P}{\pi^3 E}} 

Шаг 5: Подставим численные значения

• L = 2.2 \text{ м}
• P = 5000 \text{ Н}
• E = 7 \times 10^{10} \text{ Па}
• \pi \approx 3.1416

Подставим:

 d \geq \sqrt[4]{\frac{256 \times (2.2)^2 \times 5000}{(3.1416)^3 \times 7 \times 10^{10}}} 

Вычислим числитель:

 256 \times (2.2)^2 \times 5000 = 256 \times 4.84 \times 5000 = 256 \times 24200 = 6,195,200 

Вычислим знаменатель:

 (3.1416)^3 \times 7 \times 10^{10} \approx 31.0063 \times 7 \times 10^{10} = 217.044 \times 10^{10} = 2.17044 \times 10^{12} 

Теперь дробь:

 \frac{6,195,200}{2.17044 \times 10^{12}} \approx 2.854 \times 10^{-6} 

Теперь корень четвёртой степени:

 d \geq \sqrt[4]{2.854 \times 10^{-6}} = (2.854 \times 10^{-6})^{0.25} 

Вычислим:

• Логарифм по основанию 10: \log_{10}(2.854 \times 10^{-6}) = \log_{10}(2.854) - 6 \approx 0.4559 - 6 = -5.5441
• Делим на 4: -5.5441 / 4 = -1.386
• Обратное преобразование: 10^{-1.386} \approx 0.041 м

Ответ:

Минимальный диаметр стержня:

 \boxed{d \approx 0.041 \text{ м} = 41 \text{ мм}} 

Итог:

Чтобы стержень длиной 2.2 м не потерял устойчивость при сжатии силой 5000 Н, при модуле Юнга 70000 МПа и условии защемления одного конца, диаметр круглого сечения должен быть не менее 41 мм.