Определите запас устойчивости для шарнирно опёртого стержня с прямоугольным поперечным сечением

Предмет: Механика
Раздел: Сопротивление материалов — Расчет на устойчивость

Дано:

• Модуль упругости:  E = 210\,000\, \text{МПа} = 210\,000 \times 10^6\, \text{Па} = 2.1 \times 10^{11}\, \text{Па} 
• Длина стержня:  L = 2\, \text{м} 
• Размеры поперечного сечения:  b = 20\, \text{мм} = 0.02\, \text{м}, \quad h = 30\, \text{мм} = 0.03\, \text{м} 
• Нагрузка:  P = 5\,000\, \text{Н} 
• Коэффициент безопасности:  k = 2 

Шаг 1. Определение момента инерции поперечного сечения

Для прямоугольного сечения момент инерции относительно оси изгиба (предположим, что изгиб происходит вокруг оси с меньшим моментом инерции, то есть вокруг оси, проходящей через сторону b):

 I = \frac{b h^3}{12} 

Подставим:

 I = \frac{0.02 \times (0.03)^3}{12} = \frac{0.02 \times 2.7 \times 10^{-5}}{12} = \frac{5.4 \times 10^{-7}}{12} = 4.5 \times 10^{-8}\, \text{м}^4 

Шаг 2. Критическая нагрузка для шарнирно опёртого стержня (формула Эйлера)

Для стержня, шарнирно опёртого на обоих концах, критическая нагрузка равна:

 P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2} 

Подставим значения:

 P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 2.1 \times 10^{11} \times 4.5 \times 10^{-8}}{(2)^2} = \frac{9.8696 \times 2.1 \times 10^{11} \times 4.5 \times 10^{-8}}{4} 

Вычислим числитель:

 9.8696 \times 2.1 \times 10^{11} \times 4.5 \times 10^{-8} = 9.8696 \times 2.1 \times 4.5 \times 10^{3} = 9.8696 \times 9.45 \times 10^{3} \approx 93.3 \times 10^{3} = 93\,300 

Теперь разделим на 4:

 P_{cr} = \frac{93\,300}{4} = 23\,325\, \text{Н} 

Шаг 3. Запас устойчивости

Запас устойчивости  Z  определяется как отношение критической нагрузки к рабочей нагрузке с учётом коэффициента безопасности:

 Z = \frac{P_{cr}}{k \times P} 

Подставим:

 Z = \frac{23\,325}{2 \times 5\,000} = \frac{23\,325}{10\,000} = 2.3325 

Ответ:

Запас устойчивости равен примерно 2.33 (округлено до сотых).

Итог: Запас устойчивости для данного стержня составляет 2.33. Это значит, что стержень выдерживает нагрузку более чем в 2 раза превышающую расчетную с учетом коэффициента безопасности.