Определите наименьший из запасов прочности составного цилиндрического стержня, показанного на рисунке

Предмет: Механика материалов
Раздел: Сопротивление материалов, расчет прочности составных стержней

Условие задачи:

• Сила P = 500 \text{ Н}
• Диаметр стержня D = 10 \text{ мм} = 0{,}01 \text{ м}
• Допускаемое напряжение материала стержня \sigma_{\text{мат}} = 20 \text{ МПа} = 20 \times 10^6 \text{ Па}
• Допускаемое напряжение клея на разрыв \sigma_{\text{клей}} = 8 \text{ МПа} = 8 \times 10^6 \text{ Па}

Анализ задачи:

Стержень составной, с клеевым соединением, на которое действует сила P и 2P с двух сторон, как показано на рисунке.

Нужно определить наименьший запас прочности, то есть минимальное отношение допустимого напряжения к фактическому напряжению в материале или клее.

Шаг 1: Найдем площадь поперечного сечения стержня

Площадь поперечного сечения цилиндра:

 A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}01)^2}{4} = \frac{\pi \times 10^{-4}}{4} = \pi \times 2{,}5 \times 10^{-5} \approx 7{,}854 \times 10^{-5} \text{ м}^2 

Шаг 2: Найдем фактические напряжения

Напряжение в материале стержня:

Напряжение определяется по формуле:

 \sigma = \frac{F}{A} 

Для материала стержня сила F = P = 500 \text{ Н}, тогда

 \sigma_{\text{мат}} = \frac{500}{7{,}854 \times 10^{-5}} \approx 6{,}366 \times 10^{6} \text{ Па} = 6{,}366 \text{ МПа} 

Напряжение в клеевом соединении:

Согласно рисунку, на клеевое соединение действует сила 2P = 1000 \text{ Н}.

Напряжение на клее:

 \sigma_{\text{клей}} = \frac{2P}{A} = \frac{1000}{7{,}854 \times 10^{-5}} \approx 12{,}732 \times 10^{6} \text{ Па} = 12{,}732 \text{ МПа} 

Шаг 3: Рассчитаем запасы прочности

Запас прочности определяется как отношение допустимого напряжения к фактическому:

 n = \frac{\sigma_{\text{доп}}}{\sigma_{\text{факт}}} 

Для материала стержня:

 n_{\text{мат}} = \frac{20 \times 10^{6}}{6{,}366 \times 10^{6}} \approx 3{,}14 

Для клея:

 n_{\text{клей}} = \frac{8 \times 10^{6}}{12{,}732 \times 10^{6}} \approx 0{,}63 

Ответ:

Наименьший запас прочности у клеевого соединения, он равен примерно:

 \boxed{n_{\text{мин}} = 0{,}63} 

Вывод: Клеевое соединение является слабым звеном в конструкции, так как его запас прочности меньше единицы, что указывает на возможный разрыв при заданной нагрузке. Нужно либо уменьшить нагрузку, либо усилить клеевое соединение.