Определите координату и величину наибольшего по модулю изгибающего момента для балки, показанной на рисунке

Предмет: Механика, раздел: Сопротивление материалов (Статика балок)

Дана балка с двумя опорами (шарнирная и качающаяся) и равномерно распределённой нагрузкой [q = 100 \frac{Н}{мм}] по всей длине балки.

Дано:

• Распределённая нагрузка: q = 100 \frac{Н}{мм}
• Длина левой части балки: 700 мм
• Длина средней части балки: 2000 мм
• Длина правой части балки: 700 мм

Общая длина балки: L = 700 + 2000 + 700 = 3400 мм

Шаг 1. Определение реакций опор

Обозначим реакции опор:

• R_A — реакция левой опоры (шарнирная)
• R_B — реакция правой опоры (качалка)

Балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой по всей длине:

Q = q \times L = 100 \times 3400 = 340000 \, Н

Условие равновесия по вертикали:

R_A + R_B = Q = 340000 \, Н

Шаг 2. Условие равновесия моментов

Возьмём момент относительно левой опоры (точка A):

Положение центра нагрузки — в середине балки, на расстоянии 1700 мм от левой опоры.

Момент от нагрузки:

M_q = Q \times 1700 = 340000 \times 1700 = 578000000 \, Н \cdot мм

Момент от реакции R_B на расстоянии 3400 мм:

M_{R_B} = R_B \times 3400

Условие равновесия моментов:

M_{R_B} = M_q \Rightarrow R_B \times 3400 = 578000000

Отсюда:

R_B = \frac{578000000}{3400} = 170000 \, Н

Шаг 3. Найдём R_A:

R_A = 340000 - 170000 = 170000 \, Н

Шаг 4. Найдём изгибающий момент в балке

Изгибающий момент в любом сечении балки определяется как сумма моментов от нагрузок и реакций слева от сечения.

Обозначим координату x от левой опоры.

• Для 0 \leq x \leq 3400 мм, изгибающий момент:

M(x) = R_A \cdot x - q \cdot \frac{x^2}{2}

Шаг 5. Найдём координату максимального по модулю изгибающего момента

Для максимума момента возьмём производную по x и приравняем к нулю:

\frac{dM}{dx} = R_A - qx = 0 \Rightarrow x = \frac{R_A}{q} = \frac{170000}{100} = 1700 \, мм

Шаг 6. Найдём величину максимального момента:

M_{max} = R_A \cdot 1700 - 100 \cdot \frac{1700^2}{2} = 170000 \times 1700 - 100 \times \frac{1700^2}{2}

Вычислим:

170000 \times 1700 = 289000000 \, Н \cdot мм

100 \times \frac{1700^2}{2} = 100 \times \frac{2,890,000}{2} = 100 \times 1,445,000 = 144,500,000 \, Н \cdot мм

Тогда:

M_{max} = 289000000 - 144500000 = 144,500,000 \, Н \cdot мм

Итог:

• Координата максимального изгибающего момента: x = 1700 мм от левой опоры
• Величина максимального изгибающего момента: M_{max} = 1.445 \times 10^8 \, Н \cdot мм

Если нужна точность и формат без экспоненты, то:

M_{max} = 144,500,000 \, Н \cdot мм

Если нужна дополнительная помощь — обращайтесь!