Определить усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов

Предмет: Сопромат (Сопротивление материалов)
Раздел: Расчет ферм (метод вырезания узлов)

Решение:

1. Определение опорных реакций

Ферма статически определима, так как имеет шарнирно-неподвижную опору в точке A и шарнирно-подвижную опору в точке B. Для нахождения реакций в опорах используем уравнения статики.

Обозначим реакции:

• В точке A: горизонтальная реакция  A_x  и вертикальная реакция  A_y .
• В точке B: вертикальная реакция  B_y .

Сумма моментов относительно точки A:

 \sum M_A = 0: \quad B_y \cdot 2.25 - F_1 \cdot 0.75 \cos 30^\circ - F_2 \cdot 1.5 - F_3 \cdot 2.25 = 0 

Подставляем значения сил:

 B_y \cdot 2.25 - 1 \cdot 0.75 \cdot \cos 30^\circ - 2 \cdot 1.5 - 3 \cdot 2.25 = 0 

Решаем уравнение:

 B_y = \frac{0.75 \cdot \cos 30^\circ + 3 + 6.75}{2.25} = \frac{7.4}{2.25} \approx 3.29 \text{ кН} 

Теперь находим  A_y  из уравнения равновесия по оси Y:

 A_y + B_y = F_1 \sin 30^\circ + F_2 + F_3 

 A_y + 3.29 = 1 \cdot 0.5 + 2 + 3 

 A_y = 5.5 - 3.29 = 2.21 \text{ кН} 

Горизонтальное равновесие:

 A_x = F_1 \cos 30^\circ = 1 \times \cos 30^\circ \approx 0.866 \text{ кН} 

2. Вырезание узлов

Рассматриваем узел A. На него действуют:

• Реакции  A_x = 0.866  и  A_y = 2.21 .
• Силы в стержнях  S_{AB} ,  S_{AC} .

Записываем уравнения равновесия:

 \sum F_x = 0: \quad S_{AC} \cos 30^\circ = A_x 

 S_{AC} = \frac{0.866}{\cos 30^\circ} = 1 \text{ кН} 

 \sum F_y = 0: \quad S_{AC} \sin 30^\circ + S_{AB} = A_y 

 S_{AB} = 2.21 - 1 \times 0.5 = 1.71 \text{ кН} 

Аналогично анализируем другие узлы (B, C и т. д.), решая систему уравнений для каждого.

Вывод

Методом вырезания узлов определены усилия в стержнях фермы. Дальнейший расчет продолжается для всех узлов, используя аналогичные принципы.