Определить реакции жёсткой заделки (опоры) балки, учитывая сосредоточенную силу, момент и равномерно распределённую нагрузку с интенсивностью

Предмет: Сопротивление материалов

Раздел: Определение реакций опор

Задание:

Определить реакции жёсткой заделки (опоры) балки ( A ), учитывая сосредоточенную силу ( F ), момент ( M ) и равномерно распределённую нагрузку с интенсивностью ( q ). Учитываем данные из таблицы:

• ( F = 2.5 \, \text{кН} ),
• ( q = 0.5 \, \text{кН/м} ),
• ( M = 6.8 \, \text{кН·м} ),
• ( \alpha = 60^\circ ),
• ( a = 0.6 \, \text{м} ), ( b = 1.2 \, \text{м} ), ( c = 0.6 \, \text{м} ).

Решение:

Для определения реакций жесткой заделки ( A ), составим уравнения равновесия для балки.

1. Силы в проекциях на оси:

   • На ось ( x ):
     [ \sum F_x = 0 ]
   • На ось ( y ):
     [ \sum F_y = 0 ]

2. Моменты относительно точки ( A ):
   [ \sum M_A = 0 ]

Обозначим реакции заделки:

• ( R_x ) — горизонтальная реакция,
• ( R_y ) — вертикальная реакция,
• ( M_A ) — момент заделки.

1. Расчет сосредоточенной силы ( F ):

Сила ( F ) имеет угол ( \alpha = 60^\circ ), следовательно, она раскладывается на две составляющие:

• Горизонтальная:
  [ F_x = F \cdot \cos\alpha = 2.5 \cdot \cos 60^\circ = 2.5 \cdot 0.5 = 1.25 \, \text{кН} ]
• Вертикальная:
  [ F_y = F \cdot \sin\alpha = 2.5 \cdot \sin 60^\circ = 2.5 \cdot 0.866 = 2.165 \, \text{кН} ]

2. Равномерно распределенная нагрузка ( q ):

Равномерно распределенная нагрузка действует на участок длиной ( b + c = 1.2 + 0.6 = 1.8 \, \text{м} ).
Суммарная сила от распределенной нагрузки:
[ Q = q \cdot (b + c) = 0.5 \cdot 1.8 = 0.9 \, \text{кН} ]

Эта сила приложена в центре участка ( b + c ), то есть на расстоянии:
[ x_Q = \frac{b + c}{2} = \frac{1.8}{2} = 0.9 \, \text{м} \ \text{от конца участка}. ]

3. Уравнения равновесия:

(а) Сумма горизонтальных сил:

[ \sum F_x = 0 \implies R_x - F_x = 0 \implies R_x = F_x = 1.25 \, \text{кН}. ]

(б) Сумма вертикальных сил:

[ \sum F_y = 0 \implies R_y - F_y - Q = 0 \implies R_y = F_y + Q = 2.165 + 0.9 = 3.065 \, \text{кН}. ]

(в) Сумма моментов относительно точки ( A ):

[ \sum M_A = 0 \implies M_A - M - Q \cdot (a + x_Q) - F_y \cdot (a + b + c) = 0. ]

Подставим значения:
[ M_A - 6.8 - 0.9 \cdot (0.6 + 0.9) - 2.165 \cdot (0.6 + 1.2 + 0.6) = 0. ]

Выполним вычисления:
[ M_A - 6.8 - 0.9 \cdot 1.5 - 2.165 \cdot 2.4 = 0, ] [ M_A - 6.8 - 1.35 - 5.196 = 0, ] [ M_A = 6.8 + 1.35 + 5.196 = 13.346 \, \text{кН·м}. ]

Ответ:

Реакции жесткой заделки:

1. ( R_x = 1.25 \, \text{кН} ),
2. ( R_y = 3.065 \, \text{кН} ),
3. ( M_A = 13.346 \, \text{кН·м}. )