Определить реакции в опорах на основе данных нагрузок и моментов на балке, изображённой на рисунке

Эта задача относится к разделу "Статика" дисциплины "Сопротивление материалов".

В данной задаче требуется определить реакции в опорах на основе данных нагрузок и моментов на балке, изображённой на рисунке. Мы имеем различные силы: вертикальную силу \( F = 70 \, \text{kH} \), распределённую нагрузку \( P = 5 \, \text{kH/m} \), и момент \( m = 35 \, \text{kНм} \). Для решения этой задачи необходимо применить уравнения равновесия, которые используются при расчете плоских систем, находящихся в состоянии статического равновесия.

Шаг 1: Записываем уравнения равновесия

В статиках есть три основных уравнения равновесия для плоских систем:

1. \( \sum F_x = 0 \) — сумма всех горизонтальных сил.
2. \( \sum F_y = 0 \) — сумма всех вертикальных сил.
3. \( \sum M = 0 \) — сумма моментов относительно любой точки должна равняться нулю.

Горизонтальные силы:

В данной задаче горизонтальных сил нет, поэтому:

\[ \sum F_x = 0. \]

Вертикальные силы:

Запишем сумму всех вертикальных сил для всей балки. В данном случае нас интересуют внешние силы и реакции опор, которые будут действовать в точках крепления балки.

1. Имеется равномерно распределённая нагрузка \( P = 5 \, \text{kH/m} \), которая действует на участке между опорами \( BC \). Поскольку длина данной части балки составляет \( 5 \, \text{м} \), общая сила от этой нагрузки будет равна: \[ F_P = P \times 5 = 5 \times 5 = 25 \, \text{kH}. \] Эта сила берется как результат распределённой нагрузки и приложена в её центре тяжести — посредине участка \( BC \) (на расстоянии \( 2.5 \, \text{м} \) от опоры \( B \)).
2. Вертикальная сила \( F = 70 \, \text{kH} \), приложенная в точке \( A \). Таким образом, у нас есть две внешние силы: \( 70 \, \text{kH} \) (точечная) и \( 25 \, \text{kH} \) (от распределённой нагрузки).

Теперь пусть \( R_A \) — вертикальная реакция на опоре \( A \), \( R_B \) — вертикальная реакция на опоре \( B \), и \( R_C \) — вертикальная реакция в точке \( C \). Составим первое уравнение равновесия по вертикали: \[ R_A + R_B + R_C = F + F_P = 70 + 25 = 95 \, \text{kH}. \]

Моменты:

Для составления уравнения моментов удобнее всего выбрать одну из опор, чтобы исключить одну из неизвестных реакций. Выберем точку \( A \), и запишем уравнение моментов относительно точки \( A \). При этом момент точки даётся по формуле: \[ \text{Момент} = \text{сила} \times \text{расстояние}. \] Считаем моменты:

1. Момент от \( F_P = 25 \, \text{kH} \), приложенной на расстоянии \( 7.5 \, \text{м} \) от точки \( A \): \[ M_{F_P} = 25 \times 7.5 = 187.5 \, \text{kНм}. \]
2. Момент от силы \( R_B \), приложенной на расстоянии \( 5 \, \text{м} \) от точки \( A \): \[ M_{R_B} = R_B \times 5. \]
3. Момент от силы \( R_C \), приложенной на расстоянии \( 10 \, \text{м} \) от точки \( A \): \[ M_{R_C} = R_C \times 10. \]
4. Момент \( m = 35 \, \text{kНм} \), приложенный к точке \( A \). Этот момент нужно учесть как внешний.

Уравнение моментов относительно точки \( A \): \[ -187.5 + R_B \times 5 + R_C \times 10 - 35 = 0. \] Упростим уравнение: \[ R_B \times 5 + R_C \times 10 = 222.5. \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас два уравнения:

1. \( R_A + R_B + R_C = 95 \).
2. \( 5R_B + 10R_C = 222.5 \).

Из второго уравнения выразим \( R_B \):

\[ 5R_B = 222.5 - 10R_C, \]

\[ R_B = \frac{222.5 - 10R_C}{5}. \]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[ R_A + \frac{222.5 - 10R_C}{5} + R_C = 95. \]

Окончательно решив эту систему уравнений, мы получим значения для реакций в опорах \( R_A \), \( R_B \) и \( R_C \).