Определить опорные реакции в заделке: горизонтальную силу, вертикальную силу и момент

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел предмета: Статически определимые балки, расчет опорных реакций

Условие задачи:

Имеется консольная балка ( AB ), жестко заделанная в точке ( A ). На балку действуют:

• Сосредоточенная сила ( F ) под углом ( \alpha ) к горизонту, приложенная в точке ( B ),
• Пара сил с моментом ( M ), приложенная в точке ( A ),
• Равномерно распределённая нагрузка с интенсивностью ( q ), действующая на участке длиной ( b ), начиная от точки ( A ).

Длина балки от точки ( A ) до точки ( B ) составляет ( a + b + c ).

Требуется:

Определить опорные реакции в заделке ( A ): горизонтальную силу ( R_x ), вертикальную силу ( R_y ) и момент ( M_A ).

Решение:

1. Расчёт составляющих силы ( F )

Сила ( F ) приложена под углом ( \alpha ), поэтому её проекции на оси:

• Горизонтальная: [F_x = F \cos \alpha]
• Вертикальная: [F_y = F \sin \alpha]

2. Реакции в заделке

Так как балка жёстко заделана в точке ( A ), в этой точке возникают:

• Горизонтальная реакция [R_x]
• Вертикальная реакция [R_y]
• Опорный момент [M_A]

Составим уравнения равновесия:

Уравнение 1: Равновесие по горизонтали

 \sum F_x = 0: \quad R_x - F \cos \alpha = 0 \Rightarrow R_x = F \cos \alpha 

Уравнение 2: Равновесие по вертикали

Распределённая нагрузка ( q ) действует на длине ( b ), её результирующая сила: [F_q = q \cdot b], приложена в центре участка, т.е. на расстоянии [b/2] от начала участка распределения.

 \sum F_y = 0: \quad R_y - F \sin \alpha - q \cdot b = 0 \Rightarrow R_y = F \sin \alpha + q \cdot b 

Уравнение 3: Равновесие моментов относительно точки A (по часовой стрелке положительно)

Учитываем:

• Момент от силы ( F ) (в точке ( B ), на расстоянии ( a + b + c )):
  • Горизонтальная составляющая ( F \cos \alpha ) создаёт момент: [-F \cos \alpha \cdot (a + b + c)] (отрицательный, т.к. против часовой стрелки)
  • Вертикальная составляющая ( F \sin \alpha ) создаёт момент: [-F \sin \alpha \cdot (a + b + c)]
• Момент от распределённой нагрузки:
  • Равнодействующая: [q \cdot b], на расстоянии [b/2] от начала участка, т.е. от точки A
  • Момент: [-q \cdot b \cdot (b/2)] = -q \cdot b^2 / 2
• Пара сил с моментом ( M ): прямо добавляется как [+M]
• Опорный момент [M_A] (реакция)

Суммарное уравнение моментов:  \sum M_A = 0: \quad M_A - F \sin \alpha \cdot (a + b + c) + F \cos \alpha \cdot (a + b + c) - \frac{q \cdot b^2}{2} + M = 0 

Отсюда:  M_A = F \sin \alpha \cdot (a + b + c) - F \cos \alpha \cdot (a + b + c) + \frac{q \cdot b^2}{2} - M 

Ответ:

• Горизонтальная реакция:
  [R_x = F \cos \alpha]

• Вертикальная реакция:
  [R_y = F \sin \alpha + q \cdot b]

• Опорный момент:
  [M_A = F \sin \alpha \cdot (a + b + c) - F \cos \alpha \cdot (a + b + c) + \frac{q \cdot b^2}{2} - M]

Если нужно, можно подставить численные значения для получения окончательных результатов.