Определить наименьший запас прочности составного стержня

Предмет: Механика материалов
Раздел: Сопротивление материалов, расчет напряжений и запас прочности

Условие задачи:

• Составной цилиндрический стержень, состоящий из двух частей, соединенных клеевым соединением.
• Внешние силы:
   P = 500 \, \text{Н}  (приложены, как показано на рисунке)
• Диаметр стержня:
   D = 10 \, \text{мм} = 0{,}01 \, \text{м} 
• Допускаемое напряжение материала стержня:
   \sigma_{\text{мат}} = 20 \, \text{МПа} = 20 \times 10^6 \, \text{Па} 
• Допускаемое напряжение клея на разрыв:
   \sigma_{\text{клей}} = 8 \, \text{МПа} = 8 \times 10^6 \, \text{Па} 

Цель задачи:

Определить наименьший запас прочности составного стержня.

Анализ задачи:

1. Стержень состоит из двух частей, соединенных клеевым соединением.
2. На левую часть действует сила P влево, на правую часть — 2P вправо, а в месте клеевого соединения сила P направлена влево.
3. Необходимо проверить прочность двух элементов:
   • Материала стержня на растяжение/сжатие
   • Клеевого соединения на разрыв (сдвиг)

Шаг 1. Определение напряжений в стержне

Площадь поперечного сечения стержня:
 A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}01)^2}{4} = \pi \times 2{,}5 \times 10^{-5} = 7{,}854 \times 10^{-5} \, \text{м}^2 

Шаг 2. Напряжение в материале стержня

• В левой части стержня сила P, значит напряжение:
   \sigma_1 = \frac{P}{A} = \frac{500}{7{,}854 \times 10^{-5}} \approx 6{,}37 \times 10^{6} \, \text{Па} = 6{,}37 \, \text{МПа} 

• В правой части стержня сила 2P, значит напряжение:
   \sigma_2 = \frac{2P}{A} = 2 \times 6{,}37 = 12{,}74 \, \text{МПа} 

Шаг 3. Напряжение в клеевом соединении

Сила, действующая на клей, равна P (она передаётся через клеевое соединение).

Площадь клеевого соединения неизвестна, но предположим, что она равна площади поперечного сечения стержня (обычно площадь клеевого соединения равна площади сечения).

Тогда напряжение в клее:
 \sigma_{\text{клей}} = \frac{P}{A} = 6{,}37 \, \text{МПа} 

Шаг 4. Запас прочности

Запас прочности определяется как отношение допускаемого напряжения к рабочему:

• Для материала стержня:
   n_1 = \frac{\sigma_{\text{мат}}}{\sigma_2} = \frac{20}{12{,}74} \approx 1{,}57 

• Для клея:
   n_2 = \frac{\sigma_{\text{клей}}}{\sigma_{\text{клей,раб}}} = \frac{8}{6{,}37} \approx 1{,}26 

Итог:

• Запас прочности материала стержня — около 1{,}57
• Запас прочности клеевого соединения — около 1{,}26

Наименьший запас прочности — у клеевого соединения и равен примерно 1{,}26.

Если площадь клеевого соединения отличается от площади сечения стержня, её нужно учитывать, но в условии она не указана, значит предполагаем равной.