Определить момент инерции двутаврового сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной основанию

Предмет: Механика (Сопротивление материалов)
Раздел: Момент инерции сечения

Задача: Определить момент инерции двутаврового сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной основанию.

Дан двутавр с размерами:

• ширина полки b = 120 мм
• высота сечения h = 160 мм
• толщина полки t = 10 мм
• толщина стенки t_{ст} = 5 мм

Шаг 1. Описание сечения

Двутавровое сечение состоит из двух полок и стенки между ними.

• Полки — прямоугольники размером b \times t
• Стенка — прямоугольник размером t_{ст} \times (h - 2t)

Шаг 2. Найдём положение центра тяжести сечения

Обозначим:

• Площадь верхней полки: S_1 = b \times t
• Площадь нижней полки: S_2 = b \times t
• Площадь стенки: S_3 = t_{ст} \times (h - 2t)

Вычислим площади:
 \begin{cases} S_1 = 120 \times 10 = 1200 \text{ мм}^2 \ S_2 = 120 \times 10 = 1200 \text{ мм}^2 \ S_3 = 5 \times (160 - 2 \times 10) = 5 \times 140 = 700 \text{ мм}^2 \end{cases} 

Положение центра тяжести по вертикали (ось Y, направлена снизу вверх), отсчитанное от нижнего края сечения:

• Центр тяжести нижней полки: y_2 = \frac{t}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ мм}
• Центр тяжести стенки: y_3 = t + \frac{h - 2t}{2} = 10 + \frac{140}{2} = 10 + 70 = 80 \text{ мм}
• Центр тяжести верхней полки: y_1 = h - \frac{t}{2} = 160 - 5 = 155 \text{ мм}

Общий центр тяжести:
 \bar{y} = \frac{S_1 y_1 + S_2 y_2 + S_3 y_3}{S_1 + S_2 + S_3} = \frac{1200 \times 155 + 1200 \times 5 + 700 \times 80}{1200 + 1200 + 700} \end{formula} Считаем числитель: 1200 \times 155 = 186000
1200 \times 5 = 6000
700 \times 80 = 56000
Сумма: 186000 + 6000 + 56000 = 248000

Сумма площадей:
1200 + 1200 + 700 = 3100

Тогда:
\bar{y} = \frac{248000}{3100} \approx 80 \text{ мм}

Шаг 3. Момент инерции сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести (ось X)

Момент инерции прямоугольника относительно своей центральной оси (параллельной основанию):
I_{x, \text{прям}} = \frac{b h^3}{12}

Для каждой части вычислим момент инерции относительно собственной центральной оси, затем применим теорему параллельных осей, чтобы перенести к оси через центр тяжести всего сечения.

Для верхней полки:

• Размеры: b = 120 мм, t = 10 мм
• Момент инерции относительно собственной оси:
  I_{x1} = \frac{b t^3}{12} = \frac{120 \times 10^3}{12} = \frac{120 \times 1000}{12} = 10000 \text{ мм}^4
• Расстояние от центра тяжести полки до общего центра тяжести:
  d_1 = |y_1 - \bar{y}| = |155 - 80| = 75 \text{ мм}
• Применяем теорему параллельных осей:
  I_{x1, total} = I_{x1} + S_1 d_1^2 = 10000 + 1200 \times 75^2 = 10000 + 1200 \times 5625 = 10000 + 6,750,000 = 6,760,000 \text{ мм}^4

Для нижней полки:

• Момент инерции относительно собственной оси: такой же, 10000 \text{ мм}^4
• Расстояние до общего центра тяжести:
  d_2 = |\bar{y} - y_2| = |80 - 5| = 75 \text{ мм}
• Момент инерции с переносом:
  I_{x2, total} = 10000 + 1200 \times 75^2 = 6,760,000 \text{ мм}^4

Для стенки:

• Размеры: t_{ст} = 5 мм, h - 2t = 140 мм
• Момент инерции относительно собственной оси:
  I_{x3} = \frac{t_{ст} (h - 2t)^3}{12} = \frac{5 \times 140^3}{12} = \frac{5 \times 2,744,000}{12} = \frac{13,720,000}{12} \approx 1,143,333 \text{ мм}^4
• Расстояние до общего центра тяжести:
  d_3 = |y_3 - \bar{y}| = |80 - 80| = 0 \text{ мм}
• Момент инерции с переносом:
  I_{x3, total} = I_{x3} + S_3 d_3^2 = 1,143,333 + 700 \times 0 = 1,143,333 \text{ мм}^4

Шаг 4. Суммируем моменты инерции

 I_x = I_{x1, total} + I_{x2, total} + I_{x3, total} = 6,760,000 + 6,760,000 + 1,143,333 = 14,663,333 \text{ мм}^4 

Ответ:

Момент инерции двутаврового сечения относительно центральной оси:
I_x \approx 14,663,333 \text{ мм}^4 \approx 14,663,000 \text{ мм}^4 (округляя до целых: 14,663,000)

Если требуется ответ в миллиметрах в четвёртой степени с округлением до целых:
\boxed{14663333 \text{ мм}^4}