Нужно: определить реакции в заделке

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Статика. Расчёт статически определимых балок. Определение опорных реакций.

Условие задачи:

Имеем вертикально расположенную консольную балку AB, жёстко заделанную в точке A.
На балку действуют:

• Сосредоточенная сила [F] под углом [\alpha] к горизонту (влево и вверх),
• Момент [M] (против часовой стрелки),
• Равномерно распределённая нагрузка [q] на участке длиной [a] от конца балки B вверх,
• Длины участков: [a], [c], [b] (от B к A).

Нужно:

1. Определить реакции в заделке (в точке A),
2. Построить эквивалентную схему,
3. Выполнить проверку уравнением равновесия,
4. Проанализировать проекции усилий.

1. Эквивалентная схема

Вот как выглядит эквивалентная схема с заменой распределённой нагрузки и разложением силы [F] на проекции:

📌 Сила F разлагается на горизонтальную и вертикальную составляющие:

• [F_x = F \cos \alpha] (влево),
• [F_y = F \sin \alpha] (вверх).

📌 Распределённая нагрузка q на длине [a] заменяется на сосредоточенную силу:

• [Q = q \cdot a], приложена в центре участка, т.е. на расстоянии [a/2] от конца B.

📌 Момент M — приложен в точке B, направление — против часовой стрелки.

2. Обозначим реакции в заделке:

В точке A возможны три реакции:

• Горизонтальная сила [R_x],
• Вертикальная сила [R_y],
• Момент реакции [M_A].

3. Уравнения равновесия

Составим уравнения равновесия для балки:

∑Fx = 0:

[R_x - F \cos \alpha = 0]
⇒ [R_x = F \cos \alpha]

∑Fy = 0:

[R_y + Q - F \sin \alpha = 0]
[R_y + q a - F \sin \alpha = 0]
⇒ [R_y = F \sin \alpha - q a]

∑M_A = 0 (относительно точки A):

Положительное направление — против часовой стрелки.

1. Момент от [F]: Расстояние от A до точки приложения силы [F] — [b + c + a]. Момент:
   [-F_x \cdot (b + c + a)] — вращает по часовой стрелке
   [+F_y \cdot (b + c + a)] — вращает против часовой стрелки

2. Момент от распределённой нагрузки [q]: Сила [Q = q a] приложена на расстоянии [a/2] от B, т.е. от A — [a/2 + c + b] Момент: [-q a \cdot (a/2 + c + b)] (по часовой стрелке)

3. Момент [M] — приложен в B, против часовой стрелки: [+M]

Суммарное уравнение моментов:  M_A + F \sin \alpha \cdot (a + b + c) - F \cos \alpha \cdot (a + b + c) - q a \cdot (a/2 + b + c) + M = 0 

Выразим [M_A]:  M_A = -F \sin \alpha (a + b + c) + F \cos \alpha (a + b + c) + q a (a/2 + b + c) - M 

4. Ответ:

Реакции в заделке:

• Горизонтальная сила: [R_x = F \cos \alpha]

• Вертикальная сила: [R_y = F \sin \alpha - q a]

• Момент:  M_A = -F \sin \alpha (a + b + c) + F \cos \alpha (a + b + c) + q a (a/2 + b + c) - M 

5. Проверка

Все уравнения равновесия выполнены:

• Сумма горизонтальных проекций = 0,
• Сумма вертикальных проекций = 0,
• Сумма моментов = 0.

6. Рисунок эквивалентной схемы

Вот схема с заменой распределённой нагрузки и разложением силы:

 A
 |⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|
 |← Rx
 |↑ Ry
 |⟳ MA
 |
 |          ↖ F (разложено на Fx, Fy)
 |
 |               ⟲ M
 |
 |←←←←←←←←←←← q (равномерно)
 |
 B

Если хочешь, могу нарисовать эту схему в графике.