Найти запас прочности полого вала

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Кручение и прочность валов

Дано:

• Диаметр сплошного вала: D
• Толщина стенки полого вала: t = 0.2D
• Материал полого вала такой же, как у сплошного
• Запас прочности сплошного вала: \text{n}_\text{спл} = 1.20

Задача: найти запас прочности полого вала \text{n}_\text{пол}.

Шаг 1: Определим диаметры полого вала

Внешний диаметр полого вала равен D.
Толщина стенки t = 0.2D, тогда внутренний диаметр:
d = D - 2t = D - 2 \times 0.2D = D - 0.4D = 0.6D.

Шаг 2: Запишем формулы для максимального касательного напряжения

Максимальное касательное напряжение при кручении для круглого вала рассчитывается по формуле:
\tau_{\max} = \frac{T c}{J},
где:

• T — крутящий момент,
• c — расстояние от центра до поверхности (радиус),
• J — полярный момент инерции сечения.

Шаг 3: Полярный момент инерции

• Для сплошного вала с диаметром D:
  J_\text{спл} = \frac{\pi D^4}{32}.

• Для полого вала с внешним диаметром D и внутренним диаметром d = 0.6D:
  J_\text{пол} = \frac{\pi}{32} \left(D^4 - d^4\right) = \frac{\pi}{32} \left(D^4 - (0.6D)^4\right) = \frac{\pi D^4}{32} (1 - 0.6^4).

Вычислим 0.6^4:
0.6^4 = 0.6 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.6 = 0.1296.

Тогда:
J_\text{пол} = \frac{\pi D^4}{32} (1 - 0.1296) = \frac{\pi D^4}{32} \times 0.8704.

Шаг 4: Максимальные напряжения

Максимальное напряжение у сплошного вала:
\tau_{\max, \text{спл}} = \frac{T \frac{D}{2}}{J_\text{спл}} = \frac{T \frac{D}{2}}{\frac{\pi D^4}{32}} = \frac{16 T}{\pi D^3}.

Максимальное напряжение у полого вала:
\tau_{\max, \text{пол}} = \frac{T \frac{D}{2}}{J_\text{пол}} = \frac{T \frac{D}{2}}{\frac{\pi D^4}{32} \times 0.8704} = \frac{16 T}{\pi D^3 \times 0.8704} = \frac{16 T}{0.8704 \pi D^3}.

Шаг 5: Отношение напряжений

Отношение максимальных напряжений:
\frac{\tau_{\max, \text{пол}}}{\tau_{\max, \text{спл}}} = \frac{\frac{16 T}{0.8704 \pi D^3}}{\frac{16 T}{\pi D^3}} = \frac{1}{0.8704} \approx 1.149.

То есть, при одинаковом крутящем моменте максимальное напряжение в полом валу выше примерно в 1.149 раза.

Шаг 6: Запас прочности

Запас прочности определяется как отношение предела прочности к максимальному напряжению:
n = \frac{\tau_{пр}}{\tau_{\max}}.

Материал одинаковый, значит предел прочности \tau_{пр} одинаков для обоих валов.

Пусть \tau_{пр} — предел прочности материала.

Для сплошного вала:
n_\text{спл} = \frac{\tau_{пр}}{\tau_{\max, \text{спл}}} = 1.20.

Для полого вала:
n_\text{пол} = \frac{\tau_{пр}}{\tau_{\max, \text{пол}}} = \frac{\tau_{пр}}{1.149 \tau_{\max, \text{спл}}} = \frac{1}{1.149} \cdot \frac{\tau_{пр}}{\tau_{\max, \text{спл}}} = \frac{1}{1.149} \times 1.20 \approx 1.044.

Ответ:

Запас прочности полого вала:
\boxed{n_\text{пол} \approx 1.04}.

То есть запас прочности полого вала снизится по сравнению со сплошным и составит примерно 1.04 при тех же условиях нагрузки.