Найти выражение для изгибающего момента на участке II балки

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Расчет внутренних усилий (изгибающий момент) в балках

Условие задачи:

Найти выражение для изгибающего момента на участке II балки (между точками D и M), где действует равномерно распределённая нагрузка ( F_1 ), длина участка — 3 м. Также дана схема с размерами и силами, и предложены возможные выражения. Нужно выбрать правильное.

Шаг 1: Анализ задачи

Обозначим:

• ( RA ) — реакция опоры в точке A (шарнир).
• ( RB ) — реакция опоры в точке B (шарнир).
• Участок II — от ( z = 2 ) м до ( z = 5 ) м.
• На участке II действует равномерно распределённая нагрузка ( F_1 ) (в Н/м).
• Нужно найти изгибающий момент ( M(z) ) в любой точке этого участка.
• ( z ) — координата вдоль балки (от точки A).

Шаг 2: Определим выражение для изгибающего момента

Рассмотрим сечение на участке II на расстоянии ( z ) от точки A, где ( z \in [2, 5] ).
На этом участке действует:

• Слева — сила реакции ( RA ),
• Равномерно распределённая нагрузка ( F_1 ) от ( z = 2 ) до текущего значения ( z ).

Изгибающий момент в сечении:

Составим уравнение моментов относительно сечения:

 M(z) = R_A \cdot z - F_1 \cdot (z - 2) \cdot \frac{(z - 2)}{2} 

Здесь:

• ( R_A \cdot z ) — момент от реакции опоры A,
• ( F_1 \cdot (z - 2) \cdot \frac{(z - 2)}{2} ) — момент от равномерно распределённой нагрузки на отрезке длиной ( z - 2 ), с точкой приложения в середине этого отрезка (на расстоянии ( \frac{z - 2}{2} ) от сечения).

Итоговое выражение:

 M(z) = R_A z - F_1(z - 2) \cdot \frac{(z - 2)}{2} = R_A z - \frac{F_1 (z - 2)^2}{2} 

Шаг 3: Сравнение с предложенными вариантами

Сравним с вариантами в правой части таблицы:

• Второй вариант: R_A z - F_1(z - 2) - \frac{q(z - 2)^2}{2} — неверно, так как линейный член ( F_1(z - 2) ) не должен быть отдельно.
• Первый вариант: R_A z - F_1(z - 2) + \frac{q(z - 2)^2}{2} — неверно, знак перед квадратом неверный.
• Второй вариант сверху: R_A z - F_1(z - 2) - \frac{q(z - 2)^2}{2} — это и есть наш случай, если учесть, что ( F_1 = q )

✅ Ответ:

Правильное выражение для изгибающего момента на участке II:

R_A z - F_1(z - 2) - \frac{(z - 2)^2}{2} q

То есть второй вариант сверху в правой колонке.