Найти полный угол закручивания трубы

Предмет: Механика материалов
Раздел: Теория кручения

Дано:

• Длина трубы l = 4.6 \text{ м}
• Средний диаметр трубы d = 0.15 \text{ м}
• Толщина стенки t = 2.5 \text{ мм} = 0.0025 \text{ м}
• Наибольшее касательное напряжение \tau_{\max} = 56 \text{ МПа} = 56 \times 10^6 \text{ Па}
• Модуль сдвига G = 27000 \text{ МПа} = 27 \times 10^9 \text{ Па}

Требуется найти полный угол закручивания трубы \varphi.

Шаг 1: Определим параметры трубы

Труба имеет форму тонкостенной полой цилиндрической трубы. Средний радиус:
r = \frac{d}{2} = \frac{0.15}{2} = 0.075 \text{ м}

Толщина стенки t мала по сравнению с радиусом, поэтому можно использовать приближённые формулы для тонкостенной трубы.

Шаг 2: Найдём крутящий момент T

Для тонкостенной трубы максимальное касательное напряжение связано с крутящим моментом следующим образом:
\tau_{\max} = \frac{T}{2 \pi r^2 t}

Отсюда:
T = \tau_{\max} \cdot 2 \pi r^2 t

Подставим числовые значения:
 \begin{aligned} T &= 56 \times 10^6 \times 2 \pi \times (0.075)^2 \times 0.0025 \ &= 56 \times 10^6 \times 2 \pi \times 0.005625 \times 0.0025 \ &= 56 \times 10^6 \times 2 \pi \times 0.0000140625 \ &= 56 \times 10^6 \times 0.0000884 \ &\approx 4940 \text{ Н·м} \end{aligned} 

Шаг 3: Найдём момент инерции сечения на кручение J_t

Для тонкостенной трубы:
J_t = 2 \pi r^3 t

Подставим:
 J_t = 2 \pi \times (0.075)^3 \times 0.0025 = 2 \pi \times 0.000421875 \times 0.0025 = 2 \pi \times 0.0000010547 \approx 6.63 \times 10^{-6} \text{ м}^4 

Шаг 4: Найдём угол закручивания \varphi

Угол закручивания для длины l выражается формулой:
\varphi = \frac{T l}{G J_t}

Подставим значения:
 \begin{aligned} \varphi &= \frac{4940 \times 4.6}{27 \times 10^{9} \times 6.63 \times 10^{-6}} \ &= \frac{22724}{178.9 \times 10^{3}} \ &\approx 0.127 \text{ радиан} \end{aligned} 

Итог:

Полный угол закручивания трубы составляет приблизительно 0.127 радиан, что равно:
0.127 \times \frac{180}{\pi} \approx 7.3^\circ

Ответ:
Полный угол закручивания трубы \varphi \approx 0.127 \text{ рад} \approx 7.3^\circ.