Найти: наибольшее касательное напряжение

Предмет: Механика материалов
Раздел: Сопротивление материалов, кручение

Дано:
Длина стержня: l = 2 \text{ м} (в данной задаче длина не влияет на расчет касательных напряжений при кручении)
Прямоугольное поперечное сечение:
ширина b = 10 \text{ мм} = 0{,}01 \text{ м}
высота h = 30 \text{ мм} = 0{,}03 \text{ м}
Крутящий момент: M_t = 100\,000 \text{ Н}\cdot\text{мм} = 100\,000 \times 10^{-3} = 100 \text{ Н}\cdot\text{м}

Нужно найти: наибольшее касательное напряжение \tau_{\max} в МПа.

Шаг 1. Формула для касательного напряжения при кручении прямоугольного сечения

Для прямоугольного сечения максимальное касательное напряжение при кручении рассчитывается по формуле:

 \tau_{\max} = \frac{M_t}{W_t} 

где W_t — момент сопротивления сечения при кручении.

Шаг 2. Расчет момента сопротивления сечения при кручении W_t

Для прямоугольного сечения размеры b и h момент сопротивления при кручении можно найти по формуле:

 W_t = \frac{b h^2}{3} \left[1 - 0{,}63 \frac{b}{h} + 0{,}052 \left(\frac{b}{h}\right)^5 \right] 

Подставим значения:

 \frac{b}{h} = \frac{0{,}01}{0{,}03} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 

Вычислим скобку:

 1 - 0{,}63 \times 0{,}3333 + 0{,}052 \times (0{,}3333)^5 \end{formula> Посчитаем по шагам: 0{,}63 \times 0{,}3333 = 0{,}21 

 (0{,}3333)^5 = (0{,}3333)^2 \times (0{,}3333)^3 = 0{,}1111 \times 0{,}0370 = 0{,}00411 

 0{,}052 \times 0{,}00411 = 0{,}000214 

Теперь скобка:

 1 - 0{,}21 + 0{,}000214 = 0{,}790214 

Теперь вычислим W_t:

 W_t = \frac{0{,}01 \times (0{,}03)^2}{3} \times 0{,}790214 = \frac{0{,}01 \times 0{,}0009}{3} \times 0{,}790214 

 = \frac{0{,}000009}{3} \times 0{,}790214 = 0{,}000003 \times 0{,}790214 = 2{,}37 \times 10^{-6} \text{ м}^3 

Шаг 3. Рассчитаем максимальное касательное напряжение

 \tau_{\max} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{100}{2{,}37 \times 10^{-6}} = 42\,194\,092 \text{ Па} = 42,19 \text{ МПа} 

Ответ:

Наибольшее касательное напряжение:

 \tau_{\max} \approx 42 \text{ МПа}