Найди опорные реакции и сделай проверку

Предмет: Сопромат (сопротивление материалов) или теория сооружений.

Раздел: Статический расчет балок, расчет внешних сил и моментов.

Шаг 1. Определение опорных реакций.

На рисунке изображена рама с нагружением. Даны распределенные нагрузки и моменты:

• В горизонтальных участках рамы приложены распределенные нагрузки \(q\).
• Приложены моменты на концах рамы \( M = q a^2 \).

Требуется найти реакции в опорах. Итак, для начала проанализируем раму внимательно и выделим нагрузку на каждый элемент:

1. В верхнем и нижнем горизонтальных участках приложена равномерно распределенная нагрузка \(q\), причём длина участков различна (верхнего участка 4a, нижнего участка 4a).
2. На концах действуют моменты \( M = q a^2 \). Это моменты приложены, предположительно, на закреплённых концах (основываясь на форме рамы).
3. Есть шарнирное соединение в середине, что подразумевает, что здесь могут возникать только горизонтальные и вертикальные реакции, но не моменты.

Осязация осей:

• Ось \(X\) направим вправо.
• Ось \(Y\) направим вертикально вверх.

Опоры и реактивные силы:

1. В левой нижней опоре (совмещённой) есть вертикальная и горизонтальная реакции \(R_A\) и \(H_A\).
2. В правой верхней опоре возникает вертикальная реакция \(R_B\).

Шаг 2. Уравнения равновесия для рамы.

Для статически определимых систем должны выполняться три уравнения равновесия:

1. \(\Sigma F_X = 0\) — сумма всех горизонтальных сил.
2. \(\Sigma F_Y = 0\) — сумма всех вертикальных сил.
3. \(\Sigma M_O = 0\) — сумма моментов относительно любой точки (например, относительно точки \(A\)).

Уравнения:

1. \(\Sigma F_X = 0\): В горизонтальном направлении действует только распределённая нагрузка на вертикальный участок и реакции опор. Горизонтальные реакции от распределённой нагрузки действуют по величине \(q \cdot 2a\), где 2a — длина вертикальной части со стороны распределённой нагрузки. \(H_A = q \cdot 2a\)
2. \(\Sigma F_Y = 0\): Сумма всех вертикальных сил должна быть равна нулю. Учтём распределённые нагрузки и реакции опор. Для каждого горизонтального участка распределённая нагрузка составит \(q \cdot 4a\). \[ R_A + R_B = q \cdot 4a + q \cdot 4a = 8qa \]
3. \(\Sigma M_A = 0\) — момент относительно точки \(A\): Возьмём момент относительно точки \(A\) (левого нижнего угла):
   • Момент реактивной силы \(R_B\) относительно точки \(A\) будет равен: \(R_B \cdot (4a + a) = R_B \cdot 5a\)
   • Момент от распределённой нагрузки на верхний участок (длиной 4a): \((q \cdot 4a) \cdot \frac{4a}{2} = q \cdot 4a \cdot 2a\)
   • Момент от распределенной нагрузки на нижний горизонтальный участок: \((q \cdot 4a) \cdot \frac{4a}{2} = q \cdot 4a \cdot 2a\)
   • Момент приложенных на концах внешних сил \( M = q a^2 \) учитываем с соответствующим знаком.
   Подставляем моменты:
   \[ 0 = -R_B \cdot 5a + q \cdot 4a \cdot 2a + q \cdot 4a \cdot 2a + q a^2 \]
   \[ R_B \cdot 5a = 8q a^2 + q a^2 \]
   \[ R_B \cdot 5a = 9 q a^2 \]
   \[ R_B = \frac{9}{5} q a \]
4. Подставляем значение \(R_B\) в уравнение вертикальных сил:
   \[ R_A + \frac{9}{5} q a = 8 q a \]
   \[ R_A = 8 q a - \frac{9}{5} q a = \frac{40}{5} q a - \frac{9}{5} q a = \frac{31}{5} q a \]

Ответ: H_A = q \cdot 2a, R_A = \frac{31}{5} q a, R_B = \frac{9}{5} q a