Изгиб балок, нормальные напряжения при чистом изгибе

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Изгиб балок, нормальные напряжения при чистом изгибе

Условие задачи:

При чистом изгибе в точке A поперечного сечения возникает нормальное напряжение [\sigma_A = 48 \text{ МПа}].
Найти: нормальное напряжение в точке B — [\sigma_B].

На рисунке видно, что высота прямоугольного сечения — 120 мм, точка A находится на расстоянии 40 мм от нейтральной оси (верхняя часть), а точка B — на расстоянии 60 мм от нейтральной оси (нижняя часть).

Теория:

При чистом изгибе нормальные напряжения по высоте сечения изменяются линейно и определяются по формуле:

 [\sigma = \frac{M \cdot y}{I}] 

где:

• [\sigma] — нормальное напряжение,
• [M] — изгибающий момент,
• [y] — расстояние от нейтральной оси до рассматриваемой точки,
• [I] — момент инерции сечения.

Так как [M] и [I] одинаковы для всех точек сечения, то отношение напряжений пропорционально расстоянию от нейтральной оси:

 \left( \frac{\sigma_B}{\sigma_A} \right) = \left( \frac{y_B}{y_A} \right) 

Подстановка значений:

• [\sigma_A = 48 \text{ МПа}]
• [y_A = 40 \text{ мм}]
• [y_B = 60 \text{ мм}]

Подставим в формулу:

 \frac{\sigma_B}{48} = \frac{60}{40} = 1.5 

Тогда:

 \sigma_B = 48 \cdot 1.5 = 72 \text{ МПа} 

Ответ:

[\sigma_B = 72 \text{ МПа}]