Построить спектр одиночного прямоугольного импульса с параметрами

Предмет: Физика / Радиофизика
Раздел: Теория сигналов / Спектральный анализ сигналов

Задание:

Построить спектр одиночного прямоугольного импульса с параметрами:

• Длительность импульса [\tau = 2.5\ \mu\text{c}]
• Амплитуда импульса [U = 3\ \text{В}]

Теория:

Одиночный прямоугольный импульс во временной области можно описать функцией:

 u(t) = \begin{cases} U, & |t| \leq \tau/2 \ 0, & |t| > \tau/2 \end{cases} 

Для анализа спектра используется преобразование Фурье. Спектр амплитуд одиночного прямоугольного импульса — это модуль преобразования Фурье от функции [u(t)].

Преобразование Фурье прямоугольного импульса дает:

 U(f) = U \cdot \tau \cdot \text{sinc}(\pi f \tau) 

где

• [\text{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}] — нормированная функция sinc,
• [f] — частота в Гц,
• [\tau] — длительность импульса,
• [U] — амплитуда.

Подстановка значений:

Дано:

• [\tau = 2.5\ \mu\text{c} = 2.5 \cdot 10^{-6}\ \text{с}]
• [U = 3\ \text{В}]

Тогда спектр:

 |U(f)| = 3 \cdot 2.5 \cdot 10^{-6} \cdot \left| \text{sinc}(\pi f \cdot 2.5 \cdot 10^{-6}) \right| 

 |U(f)| = 7.5 \cdot 10^{-6} \cdot \left| \frac{\sin(\pi f \cdot 2.5 \cdot 10^{-6})}{\pi f \cdot 2.5 \cdot 10^{-6}} \right| 

Построение графика:

Для построения спектра удобно использовать Python с библиотеками NumPy и Matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры импульса
U = 3  # амплитуда в В
tau = 2.5e-6  # длительность импульса в секундах

# Частотная ось
f = np.linspace(-5e6, 5e6, 10000)  # от -5 до 5 МГц

# Вычисление спектра
spectrum = U * tau * np.sinc(f * tau)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(f / 1e6, np.abs(spectrum))
plt.title('Амплитудный спектр прямоугольного импульса')
plt.xlabel('Частота, МГц')
plt.ylabel('Амплитуда спектра, В·с')
plt.grid(True)
plt.show()

Вывод:

• Спектр одиночного прямоугольного импульса имеет форму функции sinc.
• Основная полоса спектра ограничена первой нулевой точкой:
  [f_1 = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{2.5 \cdot 10^{-6}} = 400\ \text{кГц}]
• Ширина основной полосы спектра обратно пропорциональна длительности импульса.

Если нужно, могу построить график спектра или сохранить его в файл.