Нахождение работы силы приложенной к точечной массе при её перемещении вдоль заданной траектории

Предмет: Физика
Раздел: Механика (Работа силы)

Данная задача требует нахождения работы силы \mathbf{F}\, приложенной к точечной массе m, при её перемещении вдоль заданной траектории. Работа силы вычисляется как криволинейный интеграл вдоль траектории.

Дано:

1. Сила: \mathbf{F} = \{x^2 - 2xy, 2xy + y^2\}.
2. Траектория: дуга параболы y = x^2 от точки A(0, 0) до точки B(1, 1).

Формула для работы:

Работа силы \mathbf{F} при перемещении вдоль траектории C определяется как:  W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r},  где:

• d\mathbf{r} = \{dx, dy\} — элементарный вектор перемещения,
• \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = F_x dx + F_y dy — скалярное произведение силы на элемент перемещения.

Подготовка к вычислению:

1. Подставляем уравнение траектории y = x^2. Тогда:

   • dy = \frac{d}{dx}(x^2) dx = 2x dx.
   • Лимиты интегрирования по x: от 0 до 1.

2. Подставляем компоненты силы в интеграл:

   • F_x = x^2 - 2xy,
   • F_y = 2xy + y^2. Вместо y подставляем y = x^2.

Вычисление работы:

Подставим всё в формулу для работы:  W = \int_0^1 \left[ (x^2 - 2x(x^2)) dx + (2x(x^2) + (x^2)^2)(2x dx) \right]. 

Упростим выражение:

1. (x^2 - 2x(x^2)) = x^2 - 2x^3.
2. (2x(x^2) + (x^2)^2)(2x) = (2x^3 + x^4)(2x) = 4x^4 + 2x^5.

Теперь работа:  W = \int_0^1 \left[ (x^2 - 2x^3) + (4x^4 + 2x^5) \right] dx. 

Объединим подынтегральные части:  W = \int_0^1 \left[ x^2 - 2x^3 + 4x^4 + 2x^5 \right] dx. 

Вычислим по отдельности:  \int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3},   \int_0^1 -2x^3 dx = -2 \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = -\frac{1}{2},   \int_0^1 4x^4 dx = 4 \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_0^1 = \frac{4}{5},   \int_0^1 2x^5 dx = 2 \cdot \frac{x^6}{6} \Big|_0^1 = \frac{1}{3}. 

Суммируем результаты:  W = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{4}{5} + \frac{1}{3}. 

Приведём к общему знаменателю (знаменатель — 30):  W = \frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{24}{30} + \frac{10}{30}. 

Вычислим:  W = \frac{10 - 15 + 24 + 10}{30} = \frac{29}{30}. 

Ответ:

Работа силы при перемещении вдоль дуги параболы составляет:  W = \frac{29}{30}.