Вычислить значение величины X и определить абсолютную и относительную погрешность результата для варианта I

Предмет: Физика
 Раздел: Обработка результатов измерений (Погрешности измерений)

Задание:

Вычислить значение величины X по формуле:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

и определить абсолютную и относительную погрешность результата для варианта I.

ШАГ 1: Запишем исходные данные для варианта I:

• a = 23{,}16 \pm 0{,}02
• b = 8{,}23 \pm 0{,}005
• c = 145{,}5 \pm 0{,}08
• d = 28{,}6 \pm 0{,}1
• m = 0{,}28 \pm 0{,}006

ШАГ 2: Вычислим значение X без учета погрешностей

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

• a + b = 23{,}16 + 8{,}23 = 31{,}39
• c - d = 145{,}5 - 28{,}6 = 116{,}9
• \sqrt{c - d} = \sqrt{116{,}9} \approx 10{,}8148

Теперь подставим в формулу:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}} = \frac{31{,}39 \cdot 0{,}28}{10{,}8148} \approx \frac{8{,}7892}{10{,}8148} \approx 0{,}813

ШАГ 3: Вычислим относительные погрешности исходных величин

Относительные погрешности:

• \delta_a = \frac{0{,}02}{23{,}16} \approx 0{,}000863
• \delta_b = \frac{0{,}005}{8{,}23} \approx 0{,}000607

Так как a + b, то:

\delta_{a+b} = \frac{0{,}02 + 0{,}005}{31{,}39} \approx \frac{0{,}025}{31{,}39} \approx 0{,}000796

• \delta_m = \frac{0{,}006}{0{,}28} \approx 0{,}02143
• \delta_c = \frac{0{,}08}{145{,}5} \approx 0{,}00055
• \delta_d = \frac{0{,}1}{28{,}6} \approx 0{,}0035

Так как \sqrt{c - d}, то:

\delta_{\sqrt{c - d}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0{,}08 + 0{,}1}{116{,}9} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}18}{116{,}9} \approx \frac{0{,}09}{116{,}9} \approx 0{,}00077

ШАГ 4: Общая относительная погрешность X

\delta_X = \delta_{a+b} + \delta_m + \delta_{\sqrt{c - d}} = 0{,}000796 + 0{,}02143 + 0{,}00077 \approx 0{,}0230

ШАГ 5: Абсолютная погрешность X

\alpha_X = X \cdot \delta_X = 0{,}813 \cdot 0{,}0230 \approx 0{,}0187 \approx 0{,}02

Ответ:

X = 0{,}81 \pm 0{,}02
\delta_X \approx 2{,}3\%