Вычислить значение величины по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешности

Предмет: Физика
Раздел: Обработка результатов измерений, вычисление погрешностей (погрешности косвенных измерений)

Задание: Вычислить значение величины по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешности.
Формула:
X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

Данные (столбец III):
a = 32{,}37 \; (\pm 0{,}03)
b = 2{,}35 \; (\pm 0{,}001)
c = 128{,}7 \; (\pm 0{,}02)
d = 27{,}3 \; (\pm 0{,}04)
m = 0{,}93 \; (\pm 0{,}001)

Шаг 1: Вычислим значение X

Подставим значения в формулу:

 X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}} = \frac{(32{,}37 + 2{,}35) \cdot 0{,}93}{\sqrt{128{,}7 - 27{,}3}} = \frac{34{,}72 \cdot 0{,}93}{\sqrt{101{,}4}} 

Вычислим числитель и знаменатель:

 34{,}72 \cdot 0{,}93 = 32{,}2896 

 \sqrt{101{,}4} \approx 10{,}0703 

Тогда:

 X = \frac{32{,}2896}{10{,}0703} \approx 3{,}206 

Шаг 2: Определим относительные погрешности

Обозначим:

• \delta_a = \frac{0{,}03}{32{,}37} \approx 0{,}000927
• \delta_b = \frac{0{,}001}{2{,}35} \approx 0{,}000426
• \delta_m = \frac{0{,}001}{0{,}93} \approx 0{,}001075
• \delta_c = \frac{0{,}02}{128{,}7} \approx 0{,}000155
• \delta_d = \frac{0{,}04}{27{,}3} \approx 0{,}001466

Шаг 3: Составим комбинированную относительную погрешность

Сначала найдём погрешность суммы a + b. Поскольку это сумма, абсолютные погрешности складываются:

 \Delta_{a+b} = 0{,}03 + 0{,}001 = 0{,}031 

 \delta_{a+b} = \frac{0{,}031}{34{,}72} \approx 0{,}000892 

Теперь погрешность разности c - d. Абсолютные погрешности также складываются:

 \Delta_{c-d} = 0{,}02 + 0{,}04 = 0{,}06 

 \delta_{c-d} = \frac{0{,}06}{101{,}4} \approx 0{,}000592 

Так как в формуле корень квадратный, то его относительная погрешность делится на 2:

 \delta_{\sqrt{c-d}} = \frac{1}{2} \cdot \delta_{c-d} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}000592 \approx 0{,}000296 

Теперь соберём общую относительную погрешность:

 \delta_X = \delta_{a+b} + \delta_m + \delta_{\sqrt{c-d}} = 0{,}000892 + 0{,}001075 + 0{,}000296 \approx 0{,}002263 

Шаг 4: Абсолютная погрешность

 \Delta_X = X \cdot \delta_X = 3{,}206 \cdot 0{,}002263 \approx 0{,}00725 \approx 0{,}01 

Ответ:

X = 3{,}21 \; (\pm 0{,}01)
\delta_X \approx 0{,}23\%