Вычислить значение величины по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешность

Предмет: Физика
Раздел: Теория погрешностей (обработка результатов измерений)

Нам нужно вычислить значение величины по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешность. Формула дана:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

Рассмотрим столбец I.

Шаг 1: Запишем исходные данные

 \begin{aligned} a &= 23{,}16 \; (\pm 0{,}02) \ b &= 8{,}23 \; (\pm 0{,}005) \ c &= 145{,}5 \; (\pm 0{,}08) \ d &= 28{,}6 \; (\pm 0{,}1) \ m &= 0{,}28 \; (\pm 0{,}006) \end{aligned} 

Шаг 2: Вычислим значение величины X

Сначала находим числитель:

a + b = 23{,}16 + 8{,}23 = 31{,}39

(a + b) \cdot m = 31{,}39 \cdot 0{,}28 = 8{,}7892

Теперь знаменатель:

c - d = 145{,}5 - 28{,}6 = 116{,}9

\sqrt{c - d} = \sqrt{116{,}9} \approx 10{,}8148

Теперь вычислим X:

X = \frac{8{,}7892}{10{,}8148} \approx 0{,}8128

Шаг 3: Найдём относительные погрешности

 \begin{aligned} \delta_a &= \frac{0{,}02}{23{,}16} \approx 0{,}00086 \ \delta_b &= \frac{0{,}005}{8{,}23} \approx 0{,}00061 \ \delta_m &= \frac{0{,}006}{0{,}28} \approx 0{,}02143 \ \delta_c &= \frac{0{,}08}{145{,}5} \approx 0{,}00055 \ \delta_d &= \frac{0{,}1}{28{,}6} \approx 0{,}00350 \end{aligned} 

Шаг 4: Найдём относительную погрешность результата

Поскольку:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

Относительная погрешность суммы (a + b):

\delta_{a+b} = \frac{0{,}02 + 0{,}005}{31{,}39} \approx \frac{0{,}025}{31{,}39} \approx 0{,}00080

Относительная погрешность разности (c - d):

\delta_{c-d} = \frac{0{,}08 + 0{,}1}{116{,}9} = \frac{0{,}18}{116{,}9} \approx 0{,}00154

Так как в знаменателе корень, то его вклад в погрешность делится пополам:

\delta_X = \delta_{a+b} + \delta_m + \frac{1}{2} \cdot \delta_{c-d}

\delta_X = 0{,}00080 + 0{,}02143 + 0{,}00077 \approx 0{,}023

Шаг 5: Абсолютная погрешность

\alpha_X = X \cdot \delta_X = 0{,}8128 \cdot 0{,}023 \approx 0{,}0187 \approx 0{,}02

Ответ:

X = 0{,}81 \; (\pm 0{,}02); \quad \delta_X = 2{,}3\%

Если нужно, могу аналогично решить и для столбцов II и III.