Вычислить абсолютную погрешность

Данный предмет относится к физике или математике, а точнее к измерениям и анализу погрешностей

Раздел называется "Погрешности и их расчет". Для нахождения абсолютной погрешности \( F \) используем зависимость функции от нескольких переменных и формулу для расчета погрешности произведения и корня.

Задача: Вычислить абсолютную погрешность функции: \[ F = \sqrt{B} \cdot A \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \]

Предположим, что имеются значения величин \( A \), \( B \) и \( C \) с известными погрешностями \( \Delta A \), \( \Delta B \), \( \Delta C \). Их абсолютные погрешности обозначаются через ∆A, ∆B и ∆C соответственно.

• Найдем частные производные функции \( F \) по каждой переменной:
• \[ \frac{\partial F}{\partial A} = \sqrt{B} \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \]
• \[ \frac{\partial F}{\partial B} = \frac{1}{2\sqrt{B}} \cdot A \cdot \sqrt{B^2 + C^2} + \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{2B}{2\sqrt{B^2 + C^2}} \]
• \[ \frac{\partial F}{\partial C} = \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]
• Выразим эти частные производные подробнее:
• \[ \frac{\partial F}{\partial A} = \sqrt{B} \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \]
• \[ \frac{\partial F}{\partial B} = \frac{A \cdot \sqrt{B^2 + C^2}}{2\sqrt{B}} + \frac{A \cdot \sqrt{B}}{\sqrt{B^2 + C^2}} \cdot B \]
• \[ \frac{\partial F}{\partial C} = \sqrt{B} \cdot A \cdot \frac{C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \]
• Теперь применим методику нахождения суммарной абсолютной погрешности \( \Delta F \):
\[ (\Delta F)^2 = \left( \frac{\partial F}{\partial A} \cdot \Delta A \right)^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial B} \cdot \Delta B \right)^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial C} \cdot \Delta C \right)^2 \]
• Подставим ранее найденные производные: \[ (\Delta F)^2 = \left( \sqrt{B} \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \cdot \Delta A \right)^2 + \left( \left(\frac{A \cdot \sqrt{B^2 + C^2}}{2\sqrt{B}} + \frac{A \cdot B}{\sqrt{B^2 + C^2}}\right) \cdot \Delta B \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{B} \cdot A \cdot C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \cdot \Delta C \right)^2 \]
• Сложим:
\[ (\Delta F)^2 = \left( \sqrt{B} \cdot \sqrt{B^2 + C^2} \cdot \Delta A \right)^2 + \left( \left(\frac{A \cdot \sqrt{B^2 + C^2}}{2\sqrt{B}} + \frac{A \cdot B}{\sqrt{B^2 + C^2}}\right) \cdot \Delta B \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{B} \cdot A \cdot C}{\sqrt{B^2 + C^2}} \cdot \Delta C \right)^2 \]
• Теперь можно подставить конкретные численные значения для \( A \), \( B \), \( C \) и их погрешностей, чтобы получить конкретное значение абсолютной погрешности \( \Delta F \).