Рассчитать значение величины X по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешности

Предмет: Физика
Раздел: Теория погрешностей (обработка результатов измерений)

Задание: Рассчитать значение величины X по формуле и определить её абсолютную и относительную погрешности.
Формула дана:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

Рассмотрим столбец I.

ШАГ 1: Записываем исходные данные

Из таблицы I:

• a = 23{,}16 \; (\pm 0{,}02)
• b = 8{,}23 \; (\pm 0{,}005)
• c = 145{,}5 \; (\pm 0{,}08)
• d = 28{,}6 \; (\pm 0{,}1)
• m = 0{,}28 \; (\pm 0{,}006)

ШАГ 2: Вычисляем значение X

Сначала находим числитель:
a + b = 23{,}16 + 8{,}23 = 31{,}39

Знаменатель:
c - d = 145{,}5 - 28{,}6 = 116{,}9
\sqrt{c - d} = \sqrt{116{,}9} \approx 10{,}8157

Теперь подставим в формулу:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}} = \frac{31{,}39 \cdot 0{,}28}{10{,}8157} \approx \frac{8{,}7892}{10{,}8157} \approx 0{,}813

ШАГ 3: Вычисляем относительные погрешности

Относительные погрешности:

\delta_a = \frac{0{,}02}{23{,}16} \approx 0{,}000863
\delta_b = \frac{0{,}005}{8{,}23} \approx 0{,}000607
\delta_m = \frac{0{,}006}{0{,}28} \approx 0{,}02143
\delta_c = \frac{0{,}08}{145{,}5} \approx 0{,}00055
\delta_d = \frac{0{,}1}{28{,}6} \approx 0{,}0035

Теперь найдем относительную погрешность разности c - d:

\delta_{(c - d)} = \delta_c + \delta_d = 0{,}00055 + 0{,}0035 = 0{,}00405

Так как в знаменателе стоит корень, то:

\delta_{\sqrt{c - d}} = \frac{1}{2} \cdot \delta_{(c - d)} = 0{,}5 \cdot 0{,}00405 = 0{,}002025

Теперь погрешность суммы a + b:
\delta_{(a + b)} = \frac{0{,}02 + 0{,}005}{31{,}39} = \frac{0{,}025}{31{,}39} \approx 0{,}000796

ШАГ 4: Общая относительная погрешность X

\delta_X = \delta_{(a + b)} + \delta_m + \delta_{\sqrt{c - d}} = 0{,}000796 + 0{,}02143 + 0{,}002025 = 0{,}02425
(или 2,425%)

ШАГ 5: Абсолютная погрешность X

\alpha_X = X \cdot \delta_X = 0{,}813 \cdot 0{,}02425 \approx 0{,}0197 \approx 0{,}02

ОТВЕТ:

X = 0{,}81 \; (\pm 0{,}02); \quad \delta_X \approx 2{,}4\%

Если хочешь, могу аналогично решить столбец II или III.