Получить формулу для расчета относительной погрешности

Этот текст относится к предмету физики, а именно к разделу электрических цепей и измерений.

Задача требует получения формулы для расчета относительной погрешности силы тока $\text{(}I\text{)}$, рассматривая формулу для силы тока $\text{(}I\text{)}$ в замкнутой цепи при последовательном соединении одинаковых источников. Начнем с имеющейся формулы: $\text{[}I=\frac{nE}{R+nr}\text{]}$

Где:

• $\text{(}I\text{)}$ — сила тока.
• $\text{(}n\text{)}$ — количество источников.
• $\text{(}E\text{)}$ — напряжение одного источника (ЭДС).
• $\text{(}R\text{)}$ — сопротивление внешней цепи.
• $\text{(}r\text{)}$ — внутреннее сопротивление одного источника.

Относительная погрешность измерения $\text{(}I\text{)}$ обозначается как $\text{(}\epsilon \text{)}$ и определяется как отношение абсолютной погрешности $\text{(}\mathrm{\Delta }I\text{)}$ к измеренному значению $\text{(}I\text{)}$: $\text{[}\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }I}{I}\text{]}$

Для получения формулы необходимо учитывать, что величина $\text{(}\mathrm{\Delta }I\text{)}$ зависит от погрешностей всех параметров, которые входят в исходную формулу для силы тока. Для этого нам нужно сначала найти дифференциал от функции $\text{(}I\text{)}$, а затем определить его относительную версию. Дифференцируем исходную формулу $\text{(}I=\frac{nE}{R+nr}\text{)}$:

$\text{[}dI=\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }E}dE+\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }R}dR+\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }r}dr\text{]}$

Изолируем производные:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }E}=\frac{n}{R+nr}\text{]}$

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }R}=-\frac{nE}{(R+nr{)}^2}\text{]}$

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }r}=-\frac{n^{2}E}{(R+nr{)}^2}\text{]}$

Теперь подставим производные в дифференциал:

$\text{[}dI=\frac{n}{R+nr}dE-\frac{nE}{(R+nr{)}^2}dR-\frac{n^{2}E}{(R+nr{)}^2}dr\text{]}$

Абсолютная погрешность $\text{(}\mathrm{\Delta }I\text{)}$ соответствует максимуму $\text{(}dI\text{)}$, и можно записать:

$\text{[}\mathrm{\Delta }I\approx \left|\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }E}\right|\mathrm{\Delta }E+\left|\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }R}\right|\mathrm{\Delta }R+\left|\frac{\mathrm{\partial }I}{\mathrm{\partial }r}\right|\mathrm{\Delta }r\text{]}$

Подставляя выражения для частных производных:

$\text{[}\mathrm{\Delta }I\approx \frac{n}{R+nr}\mathrm{\Delta }E+\frac{nE}{(R+nr{)}^2}\mathrm{\Delta }R+\frac{n^{2}E}{(R+nr{)}^2}\mathrm{\Delta }r\text{]}$

Теперь выразим относительную погрешность $\text{(}\epsilon \text{)}$:

$\text{[}\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }I}{I}=\frac{\frac{n}{R+nr}\mathrm{\Delta }E+\frac{nE}{(R+nr{)}^2}\mathrm{\Delta }R+\frac{n^{2}E}{(R+nr{)}^2}\mathrm{\Delta }r}{\frac{nE}{R+nr}}\text{]}$

Упростим выражение:

$\text{[}\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }E}{E}+\frac{\mathrm{\Delta }R}{R+nr}+\frac{n\mathrm{\Delta }r}{R+nr}\text{]}$

Таким образом, получаем формулу для расчета относительной погрешности силы тока $\text{(}I\text{)}$:

$\text{[}\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }E}{E}+\frac{\mathrm{\Delta }R}{R+nr}+\frac{n\mathrm{\Delta }r}{R+nr}\text{]}$

Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность измерения силы тока в зависимости от погрешностей измерений ЭДС, сопротивления внешней цепи и внутреннего сопротивления источника.