Получить формулу для расчета относительной погрешности

Этот текст относится к предмету физики, а именно к разделу электрических цепей и измерений.

Задача требует получения формулы для расчета относительной погрешности силы тока \(I\), рассматривая формулу для силы тока \(I\) в замкнутой цепи при последовательном соединении одинаковых источников. Начнем с имеющейся формулы: \[ I = \frac{nE}{R + nr} \]

Где:

• \(I\) — сила тока.
• \(n\) — количество источников.
• \(E\) — напряжение одного источника (ЭДС).
• \(R\) — сопротивление внешней цепи.
• \(r\) — внутреннее сопротивление одного источника.

Относительная погрешность измерения \(I\) обозначается как \(\varepsilon\) и определяется как отношение абсолютной погрешности \(\Delta I\) к измеренному значению \(I\): \[ \varepsilon = \frac{\Delta I}{I} \]

Для получения формулы необходимо учитывать, что величина \(\Delta I\) зависит от погрешностей всех параметров, которые входят в исходную формулу для силы тока. Для этого нам нужно сначала найти дифференциал от функции \(I\), а затем определить его относительную версию. Дифференцируем исходную формулу \(I = \frac{nE}{R + nr}\):

\[ dI = \frac{\partial I}{\partial E} dE + \frac{\partial I}{\partial R} dR + \frac{\partial I}{\partial r} dr \]

Изолируем производные:

\[ \frac{\partial I}{\partial E} = \frac{n}{R + nr} \]

\[ \frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{nE}{(R + nr)^2} \]

\[ \frac{\partial I}{\partial r} = -\frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \]

Теперь подставим производные в дифференциал:

\[ dI = \frac{n}{R + nr} dE - \frac{nE}{(R + nr)^2} dR - \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} dr \]

Абсолютная погрешность \(\Delta I\) соответствует максимуму \(dI\), и можно записать:

\[ \Delta I \approx \left|\frac{\partial I}{\partial E}\right| \Delta E + \left|\frac{\partial I}{\partial R}\right| \Delta R + \left|\frac{\partial I}{\partial r}\right| \Delta r \]

Подставляя выражения для частных производных:

\[ \Delta I \approx \frac{n}{R + nr} \Delta E + \frac{nE}{(R + nr)^2} \Delta R + \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \Delta r \]

Теперь выразим относительную погрешность \(\varepsilon\):

\[ \varepsilon = \frac{\Delta I}{I} = \frac{\frac{n}{R + nr} \Delta E + \frac{nE}{(R + nr)^2} \Delta R + \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \Delta r}{\frac{nE}{R + nr}} \]

Упростим выражение:

\[ \varepsilon = \frac{\Delta E}{E} + \frac{\Delta R}{R + nr} + \frac{n \Delta r}{R + nr} \]

Таким образом, получаем формулу для расчета относительной погрешности силы тока \(I\):

\[ \varepsilon = \frac{\Delta E}{E} + \frac{\Delta R}{R + nr} + \frac{n \Delta r}{R + nr} \]

Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность измерения силы тока в зависимости от погрешностей измерений ЭДС, сопротивления внешней цепи и внутреннего сопротивления источника.