Получить формулу для расчета относительной погрешности

Условие:

Получить формулу для расчета относительной погрешности

Решение:

Этот текст относится к предмету физики, а именно к разделу электрических цепей и измерений. Задача требует получения формулы для расчета относительной погрешности силы тока \(I\), рассматривая формулу для силы тока \(I\) в замкнутой цепи при последовательном соединении одинаковых источников. Начнем с имеющейся формулы: \[ I = \frac{nE}{R + nr} \] Где: - \(I\) — сила тока. - \(n\) — количество источников. - \(E\) — напряжение одного источника (ЭДС). - \(R\) — сопротивление внешней цепи. - \(r\) — внутреннее сопротивление одного источника. Относительная погрешность измерения \(I\) обозначается как \(\varepsilon\) и определяется как отношение абсолютной погрешности \(\Delta I\) к измеренному значению \(I\): \[ \varepsilon = \frac{\Delta I}{I} \] Для получения формулы необходимо учитывать, что величина \(\Delta I\) зависит от погрешностей всех параметров, которые входят в исходную формулу для силы тока. Для этого нам нужно сначала найти дифференциал от функции \(I\), а затем определить его относительную версию. Дифференцируем исходную формулу \(I = \frac{nE}{R + nr}\): \[ dI = \frac{\partial I}{\partial E} dE + \frac{\partial I}{\partial R} dR + \frac{\partial I}{\partial r} dr \] Изолируем производные: \[ \frac{\partial I}{\partial E} = \frac{n}{R + nr} \] \[ \frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{nE}{(R + nr)^2} \] \[ \frac{\partial I}{\partial r} = -\frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \] Теперь подставим производные в дифференциал: \[ dI = \frac{n}{R + nr} dE - \frac{nE}{(R + nr)^2} dR - \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} dr \] Абсолютная погрешность \(\Delta I\) соответствует максимуму \(dI\), и можно записать: \[ \Delta I \approx \left|\frac{\partial I}{\partial E}\right| \Delta E + \left|\frac{\partial I}{\partial R}\right| \Delta R + \left|\frac{\partial I}{\partial r}\right| \Delta r \] Подставляя выражения для частных производных: \[ \Delta I \approx \frac{n}{R + nr} \Delta E + \frac{nE}{(R + nr)^2} \Delta R + \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \Delta r \] Теперь выразим относительную погрешность \(\varepsilon\): \[ \varepsilon = \frac{\Delta I}{I} = \frac{\frac{n}{R + nr} \Delta E + \frac{nE}{(R + nr)^2} \Delta R + \frac{n^2 E}{(R + nr)^2} \Delta r}{\frac{nE}{R + nr}} \] Упростим выражение: \[ \varepsilon = \frac{\Delta E}{E} + \frac{\Delta R}{R + nr} + \frac{n \Delta r}{R + nr} \] Таким образом, получаем формулу для расчета относительной погрешности силы тока \(I\): \[ \varepsilon = \frac{\Delta E}{E} + \frac{\Delta R}{R + nr} + \frac{n \Delta r}{R + nr} \] Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность измерения силы тока в зависимости от погрешностей измерений ЭДС, сопротивления внешней цепи и внутреннего сопротивления источника.