Оценка точности функций измеренных величин.

Предмет: Физика (или Математика, в зависимости от контекста задачи)
Раздел: Теория погрешностей (в рамках обработки результатов измерений)

Тема: Оценка точности функций измеренных величин

Когда мы измеряем физические величины, то всегда сталкиваемся с погрешностями. Если мы используем измеренные величины для вычисления других, то необходимо уметь оценивать погрешность результата.

Допустим, у нас есть функция, зависящая от нескольких измеренных величин:

f = f(x_1, x_2, ..., x_n)

где x_1, x_2, ..., x_n — измеренные величины с известными погрешностями \Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n.

Абсолютная погрешность функции

Если погрешности \Delta x_i малы, то абсолютную погрешность функции можно оценить по формуле:

 \Delta f = \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot \Delta x_1 \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} \cdot \Delta x_2 \right)^2 + \cdots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \cdot \Delta x_n \right)^2 } 

Эта формула называется формулой полной погрешности и основана на методе дифференциального приближения.

Относительная погрешность

Если нужно найти относительную погрешность \delta f (в процентах), то используют:

 \delta f = \frac{\Delta f}{|f|} \cdot 100\% 

Пример

Пусть f = x \cdot y, где x = 5.0 \pm 0.1, y = 2.0 \pm 0.2.

1. Вычислим значение функции:
   f = 5.0 \cdot 2.0 = 10.0

2. Найдём частные производные:

   • \frac{\partial f}{\partial x} = y = 2.0
   • \frac{\partial f}{\partial y} = x = 5.0

3. Абсолютная погрешность:  \Delta f = \sqrt{(2.0 \cdot 0.1)^2 + (5.0 \cdot 0.2)^2} = \sqrt{0.04 + 1.0} = \sqrt{1.04} \approx 1.02 

4. Ответ:
   f = 10.0 \pm 1.0 (округлено до одного знака после запятой)

Если у тебя есть конкретная функция или численные значения измерений — пришли их, и я помогу рассчитать погрешность.