Определить погрешность результата для каждого из трёх случаев

Предмет: Физика
Раздел: Теория погрешностей (обработка результатов измерений)

Нам нужно рассчитать значение выражения:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

и определить погрешность результата для каждого из трёх случаев (I, II, III), используя данные из таблицы.

Формула погрешности:

Для выражения:

X = \frac{(a + b) \cdot m}{\sqrt{c - d}}

используем относительные погрешности:

1. Сначала найдём абсолютные значения:

   • A = a + b
   • B = c - d
   • \sqrt{B}
   • X = \frac{A \cdot m}{\sqrt{B}}

2. Погрешность суммы: \Delta A = \Delta a + \Delta b

3. Погрешность разности: \Delta B = \Delta c + \Delta d

4. Относительная погрешность корня: \delta_{\sqrt{B}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta B}{B}

5. Относительная погрешность результата: \delta_X = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta m}{m} + \delta_{\sqrt{B}}

6. Абсолютная погрешность результата: \Delta X = X \cdot \delta_X

Решение для случая I:

Дано:

• a = 23.16 \, (\pm 0.02)
• b = 8.23 \, (\pm 0.005)
• c = 145.5 \, (\pm 0.08)
• d = 28.6 \, (\pm 0.1)
• m = 0.28 \, (\pm 0.006)

Шаг 1: Вычислим A и его погрешность

A = a + b = 23.16 + 8.23 = 31.39
\Delta A = 0.02 + 0.005 = 0.025

Шаг 2: Вычислим B и его погрешность

B = c - d = 145.5 - 28.6 = 116.9
\Delta B = 0.08 + 0.1 = 0.18

Шаг 3: Вычислим \sqrt{B}

\sqrt{116.9} \approx 10.814

Шаг 4: Вычислим X

X = \frac{A \cdot m}{\sqrt{B}} = \frac{31.39 \cdot 0.28}{10.814} \approx \frac{8.7892}{10.814} \approx 0.813

Шаг 5: Найдём относительные погрешности

• \frac{\Delta A}{A} = \frac{0.025}{31.39} \approx 0.000796
• \frac{\Delta m}{m} = \frac{0.006}{0.28} \approx 0.02143
• \delta_{\sqrt{B}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.18}{116.9} \approx 0.00077

Шаг 6: Общая относительная погрешность

\delta_X = 0.000796 + 0.02143 + 0.00077 \approx 0.023

Шаг 7: Абсолютная погрешность

\Delta X = 0.813 \cdot 0.023 \approx 0.0187 \approx 0.019

Ответ для случая I:

X \approx 0.81 \, (\pm 0.02)
\delta_X \approx 2.3\%

Если нужно, могу аналогично решить для случаев II и III.