Найти, какая часть света дойдет до глубины 30 м

Предмет: Физика
Раздел: Оптика, поглощение света в среде

Задача:
Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. При толщине слоя воды 3 м поглощается половина первоначального количества света. Нужно найти, какая часть света дойдет до глубины 30 м.

Обозначим:

• I_0 — начальное количество света на поверхности,
• I(x) — количество света, оставшееся после прохождения слоя толщиной x,
• k — коэффициент поглощения света в воде.

По условию, поглощение света пропорционально толщине слоя и количеству падающего света, то есть можно записать дифференциальное уравнение:

 \frac{dI}{dx} = -k I 

Решение этого уравнения:

 I(x) = I_0 e^{-kx} 

Из условия: при x = 3\, м поглощается половина света, значит:

 I(3) = \frac{1}{2} I_0 = I_0 e^{-3k} \implies e^{-3k} = \frac{1}{2} 

Найдем k:

 -3k = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \implies k = \frac{\ln 2}{3} 

Теперь найдем, какая часть света дойдет до глубины 30\, м:

 \frac{I(30)}{I_0} = e^{-k \cdot 30} = e^{-\frac{\ln 2}{3} \cdot 30} = e^{-10 \ln 2} = (e^{\ln 2})^{-10} = 2^{-10} = \frac{1}{1024} 

Ответ: до глубины 30 м дойдет \frac{1}{1024} часть первоначального количества света.