Задача на определение неизвестной величины в цикле идеального газа, состоящем из двух изохор и двух изобар

Предмет: Физика
Раздел: Термодинамика, циклы идеального газа

Дана задача на определение неизвестной величины в цикле идеального газа, состоящем из двух изохор и двух изобар.

Для шифра 3 даны данные:
 C_p = 5{,}19 \, \text{кДж/(кг·К)} 
 T_1 = 230 \, K 
 T_2 = 980 \, K 
 k = 2 
 \eta = 0{,}16 
Неизвестно:  C_V .

Шаг 1. Связь между теплоемкостями

Для идеального газа:
 C_p - C_V = R , где  R  — газовая постоянная.

Шаг 2. Выражение КПД цикла

Для цикла, состоящего из двух изохор и двух изобар, КПД выражается формулой:
 \eta = 1 - \frac{C_V (T_2 - T_1)}{C_p (T_2 - T_1/k)} 

Пояснение:

• На изобарном участке тепло  Q_p = C_p \Delta T 
• На изохорном участке тепло  Q_V = C_V \Delta T 
• КПД выражается через отношение полезной работы к затраченной теплоте.

Шаг 3. Подставляем известные значения и выражаем  C_V 

Перепишем формулу КПД:
 \eta = 1 - \frac{C_V (T_2 - T_1)}{C_p \left(T_2 - \frac{T_1}{k}\right)} 

Отсюда:
 \frac{C_V (T_2 - T_1)}{C_p \left(T_2 - \frac{T_1}{k}\right)} = 1 - \eta 

 C_V = C_p \frac{(1-\eta) \left(T_2 - \frac{T_1}{k}\right)}{T_2 - T_1} 

Шаг 4. Подставляем числа

 C_V = 5{,}19 \times \frac{(1 - 0{,}16) \left(980 - \frac{230}{2}\right)}{980 - 230} 

Вычислим:
 1 - 0{,}16 = 0{,}84 
 \frac{230}{2} = 115 
 980 - 115 = 865 
 980 - 230 = 750 

Подставляем:
 C_V = 5{,}19 \times \frac{0{,}84 \times 865}{750} = 5{,}19 \times \frac{726{,}6}{750} = 5{,}19 \times 0{,}9688 \approx 5{,}03 \, \text{кДж/(кг·К)} 

Ответ:

 C_V \approx 5{,}03 \, \text{кДж/(кг·К)}  — удельная теплоемкость при постоянном объеме для шифра 3.