Показать, что у веществ, объем которых не зависит от температуры [T], теплоемкость при постоянном давлении [C_p] не зависит от давления

Предмет: Физика
Раздел: Термодинамика

Задание: Показать, что у веществ, объем которых не зависит от температуры [T], теплоемкость при постоянном давлении [C_p] не зависит от давления.

Решение:

Рассмотрим определение теплоемкости при постоянном давлении:

 [C_p = \left( \frac{\partial Q}{\partial T} \right)_p = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p] 

где [H] — энтальпия:

 [H = U + pV] 

Теперь рассмотрим полную производную энтальпии по температуре при постоянном давлении:

 [C_p = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p + p \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p] 

Ключевое условие задачи: объем [V] не зависит от температуры [T], т.е.

 \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p = 0 

Тогда выражение для [C_p] упрощается:

 [C_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p] 

Теперь рассмотрим, от чего зависит внутренняя энергия [U]. Для веществ с постоянным объемом (например, твердые тела или жидкости с малой сжимаемостью), внутренняя энергия зависит только от температуры:

 [U = U(T)] 

Следовательно:

 \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right) 

и это выражение не зависит от давления.

Вывод:

Если объем вещества не зависит от температуры, то теплоемкость при постоянном давлении [C_p] также не зависит от давления:

 \boxed{V = \text{const} \Rightarrow C_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right) = \text{const (по давлению)}}