Показать, что для веществ, у которых давление является линейной функцией температуры [T], теплоемкость при постоянном объеме [C_V] не зависит от объема

Предмет: Термодинамика
Раздел: Теплоемкость, уравнение состояния, свойства термодинамических систем

Задание:
Показать, что для веществ, у которых давление является линейной функцией температуры [T], теплоемкость при постоянном объеме [C_V] не зависит от объема.

Решение:

Пусть у нас есть вещество, для которого давление [p] зависит от температуры линейно:

 p(T, V) = a(V) \cdot T + b(V) 

где [a(V)] и [b(V)] — функции объема.

Однако в условии сказано, что давление — линейная функция температуры, значит:

 p(T, V) = A(V) \cdot T 

то есть без свободного члена, и [A(V)] — некоторая функция объема.

Теперь рассмотрим внутреннюю энергию [U] как функцию [T] и [V]:
 U = U(T, V) 

Тогда теплоемкость при постоянном объеме определяется как:

 C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V 

Чтобы доказать, что [C_V] не зависит от объема, нужно показать, что производная [\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V] не зависит от [V].

Используем термодинамическое соотношение:

 \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p 

Подставим [p = A(V) \cdot T]:

 \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V = A(V) 

и

 p = A(V) \cdot T 

Тогда:

 \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T \cdot A(V) - A(V) \cdot T = 0 

То есть:

 \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = 0 

Это означает, что внутренняя энергия [U] не зависит от объема, а зависит только от температуры:

 U = U(T) 

Следовательно:

 C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V = \frac{dU}{dT} 

не зависит от [V], так как [U] не зависит от [V].

Вывод:
Если давление вещества является линейной функцией температуры (без свободного члена), то внутренняя энергия не зависит от объема, а значит, теплоемкость при постоянном объеме [C_V] не зависит от объема. ✅