Определить теплоемкость идеального газа в процессе, где выполняется условие p/V = const

Предмет: Физика
Раздел: Молекулярная физика и термодинамика — Теплоёмкость идеального газа в различных термодинамических процессах

Задание:
Определить теплоёмкость идеального газа в процессе, где выполняется условие p/V = \text{const}.

Шаг 1: Анализ условия задачи

Имеем:

\frac{p}{V} = \text{const}

Из основного уравнения состояния идеального газа:

pV = nRT

Разделим обе части уравнения на V^2:

\frac{p}{V} = \frac{nRT}{V^2}

Следовательно, если \frac{p}{V} = \text{const}, то:

\frac{nRT}{V^2} = \text{const}

Отсюда:

V^2 \propto T
или
V \propto \sqrt{T}

Шаг 2: Найдём теплоёмкость

Теплоёмкость определяется как:

C = \frac{dQ}{dT}

Из первого начала термодинамики:

dQ = dU + pdV

Для одноатомного идеального газа:

dU = \frac{3}{2}nR\,dT

Нам нужно выразить pdV через dT.

Из уравнения состояния:

p = \frac{nRT}{V}

Следовательно:

pdV = \frac{nRT}{V} dV

Но мы знаем, что V \propto \sqrt{T}, т.е. V = k\sqrt{T}, где k — некоторая константа.

Тогда:

dV = \frac{k}{2\sqrt{T}} dT

Подставим в выражение для pdV:

pdV = \frac{nRT}{V} \cdot \frac{k}{2\sqrt{T}} dT

Так как V = k\sqrt{T}, то \frac{T}{V} = \frac{T}{k\sqrt{T}} = \frac{\sqrt{T}}{k}

Тогда:

pdV = nR \cdot \frac{\sqrt{T}}{k} \cdot \frac{k}{2\sqrt{T}} dT = \frac{nR}{2} dT

Шаг 3: Найдём полную теплоёмкость

 \begin{align*} dQ &= dU + pdV \ &= \frac{3}{2}nR\,dT + \frac{1}{2}nR\,dT = 2nR\,dT \end{align*} 

Следовательно, теплоёмкость:

C = \frac{dQ}{dT} = 2nR

Ответ:

Теплоёмкость идеального газа в процессе, где \frac{p}{V} = \text{const}, равна:
C = 2nR