Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода

Предмет: Физика

Раздел: Квантовая механика (атомная физика)

Задание связано с расчетом параметров атома водорода после поглощения квантов света, обусловленных переходом электрона между энергетическими уровнями атома.

Дано:

• Длина волны поглощенного света: \(\lambda = 121{,}5 \, \text{нм}\).
• Основное состояние атома водорода (\(n_1 = 1\)).

Нужно определить радиус орбиты возбужденного атома водорода, \(r\), для возбужденного состояния.

1. Переход между уровнями атома водорода

Атом водорода поглощает фотон, и электрон переходит с одного уровня энергии на более высокий. Для расчета длины волны переходов в атоме водорода можно использовать формулу Ридберга:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \]

где:

• \(R_H = 1{,}097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}\) — постоянная Ридберга,
• \(n_1\) — номер начального уровня (для основного состояния это \(n = 1\)),
• \(n_2\) — номер конечного уровня (возбужденное состояние).

_Нужно найти \(n_2\)._

2. Найдем номер уровня \(n_2\)

Подставляем известные значения длины волны \( \lambda = 121{,}5 \, \text{нм} = 121{,}5 \cdot 10^{-9} \, \text{м} \) и проделываем вычисления:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \]

\[ \frac{1}{121{,}5 \cdot 10^{-9}} = 1{,}097 \cdot 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \]

\[ 8{,}23 \cdot 10^6 = 1{,}097 \cdot 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n_2^2} \right) \]

Разделим обе стороны на \(R_H\):

\[ \frac{8{,}23 \cdot 10^6}{1{,}097 \cdot 10^7} = 1 - \frac{1}{n_2^2} \]

\[ 0{,}75 = 1 - \frac{1}{n_2^2} \]

\[ \frac{1}{n_2^2} = 0{,}25 \]

\[ n_2^2 = 4 \]

\[ n_2 = 2 \]

Результат: электрон перешел на 2-ой энергетический уровень.

3. Определение радиуса орбиты

Радиус орбиты электрона в атоме водорода в зависимости от уровня определяется формулой:

\[ r_n = r_1 n^2 \]

где:

• \(r_1\) — радиус первой орбиты (радиус Бора),
• \(r_1 = 5{,}29 \cdot 10^{-11} \, \text{м} \).

Для \(n = 2\):

\[ r_2 = r_1 \cdot 2^2 = 5{,}29 \cdot 10^{-11} \cdot 4 = 2{,}12 \cdot 10^{-10} \, \text{м}. \]

Ответ:

Радиус орбиты возбужденного атома водорода равен \(r_2 = 2{,}12 \cdot 10^{-10} \, \text{м}\).