Определить, как изменится абсолютная температура T газа, если его давление увеличивается в 4 раза

Предмет: Физика
Раздел: Молекулярная физика и термодинамика (Идеальный газ, Законы газов)

Условие задачи:

Известно, что при постоянном количестве идеального газа его давление p изменяется прямо пропорционально квадрату квадрата объема V, то есть:

p \propto V^4 или p = k V^4, где k — некоторая постоянная.

Нужно определить, как изменится абсолютная температура T газа, если его давление увеличивается в 4 раза.

Шаг 1: Используем уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа:

pV = nRT

где:

• p — давление,
• V — объем,
• n — количество вещества (моль),
• R — универсальная газовая постоянная,
• T — абсолютная температура.

Шаг 2: Подставим зависимость давления от объема

Пусть p = kV^4. Подставим это в уравнение состояния:

kV^4 \cdot V = nRT

kV^5 = nRT

Выразим температуру:

T = \dfrac{kV^5}{nR}

Таким образом, температура пропорциональна пятой степени объема:

T \propto V^5

Шаг 3: Найдём, как изменяется температура при увеличении давления в 4 раза

Пусть изначально:

• Давление p_1,
• Объём V_1,
• Температура T_1.

После изменения:

• Давление p_2 = 4p_1,
• Объём V_2,
• Температура T_2.

Из условия p = kV^4:

p_1 = kV_1^4
p_2 = kV_2^4 = 4p_1 = 4kV_1^4

Тогда:

kV_2^4 = 4kV_1^4
V_2^4 = 4V_1^4
V_2 = V_1 \cdot 4^{1/4} = V_1 \cdot \sqrt{2}

Теперь найдём, как изменилась температура:

\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^5 = (\sqrt{2})^5 = 2^{5/2} = \sqrt{32} \approx 5.66

Ответ:

Температура увеличится примерно в 5.66 раза.
То есть, если давление увеличивается в 4 раза при зависимости p \propto V^4, то температура увеличивается примерно в 5.66 раза.