Определить давление в баллоне

Этот пример относится к курсу физики, раздел "Молекулярная физика и термодинамика".

Дано:

• Объём баллона \( V = 2,5 \cdot 10^{-3} \, м^3 \)
• Масса водорода \( m = 1,5 \cdot 10^{-5} \, кг \)
• Температура \( T = 300 \, K \)
• Доля диссоциированных молекул водорода \( \alpha = \frac{1}{5} \)

Требуется определить давление в баллоне.

Состав водорода:

Молярная масса водорода \( M = 2 \, г/моль = 0,002 \, кг/моль \)

Диссоциация водорода:

Часть молекул водорода диссоциирует на атомы. Обозначим \( N_0 \) - начальное количество молекул водорода, \( N_1 \) - количество молекул, которые не диссоциировали, \( N_2 \) - количество атомов, которые образовались при диссоциации. Так как \( \alpha = \frac{N_2}{N_0} \), то у нас есть \( N_0 (1 - \alpha) \) - молекулы, которые не диссоциировали, и \( 2N_0 \alpha \) - атомы, образовавшиеся при диссоциации.

Общее количество частиц:

\[ N_{\text{общ.}} = N_0 (1 - \alpha) + 2N_0 \alpha = N_0 (1 + \alpha) \]

Теперь найдем общее количество молекул водорода:

\[ N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A \] где \( N_A \) - число Авогадро, \( N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \, молекул/моль \)

\[ N_0 = \frac{1,5 \cdot 10^{-5} \, кг}{0,002 \, кг/моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \, молекул/моль \]

\[ N_0 = 7,53 \cdot 10^{18} \, молекул \]

Общее количество частиц:

\[ N_{\text{общ.}} = N_0 (1 + \alpha) \] = \( 7,53 \cdot 10^{18} \cdot 1,2 = 9,036 \cdot 10^{18} \)

Давление можно найти по уравнению состояния идеального газа:

\[ pV = N_{\text{общ.}} kT \] где \( k \) - постоянная Больцмана, \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, Дж/К \).

Таким образом, давление:

\[ p = \frac{N_{\text{общ.}} k T}{V} \]

\[ p = \frac{9,036 \cdot 10^{18} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{2,5 \cdot 10^{-3}} \]

\[ p = \frac{3,74 \cdot 10^{-2}}{2,5 \cdot 10^{-3}} \]

\[ p \approx 15 \, Па \]

Таким образом, давление в баллоне составляет около 15 Па.