Найти уравнение адиабаты в переменных

Предмет: Физика
Раздел: Термодинамика, статистическая физика — Идеальный газ, уравнение состояния, адиабаты

Задание:
Для идеального электронного газа, у которого термическое и калорическое уравнения состояния связаны соотношением
pV = \frac{2}{3}U,
найти уравнение адиабаты в переменных:

1. (p, V)
2. (T, V)

Шаг 1: Связь между внутренней энергией и температурой

Для идеального газа внутренняя энергия U пропорциональна температуре:

U = C_V T,

где C_V — теплоёмкость при постоянном объёме.

Подставим это в данное уравнение состояния:

pV = \frac{2}{3} C_V T

Отсюда выразим температуру:

T = \frac{3}{2 C_V} pV

Шаг 2: Адиабатический процесс — определение

Для адиабатического процесса:

dQ = 0

Из первого начала термодинамики:

dU + pdV = 0

А так как U = C_V T, то:

C_V dT + p dV = 0

Шаг 3: Найдём уравнение адиабаты в переменных (T, V)

Подставим выражение давления через температуру из уравнения состояния:

p = \frac{2}{3} \frac{U}{V} = \frac{2}{3} \frac{C_V T}{V}

Подставим в уравнение адиабаты:

C_V dT + \frac{2}{3} \frac{C_V T}{V} dV = 0

Разделим на C_V:

dT + \frac{2}{3} \frac{T}{V} dV = 0

Решим это дифференциальное уравнение:

\frac{dT}{T} = -\frac{2}{3} \frac{dV}{V}

Интегрируем:

\ln T = -\frac{2}{3} \ln V + \text{const}

\ln(T V^{2/3}) = \text{const}

Следовательно:

T V^{2/3} = \text{const}

Шаг 4: Уравнение адиабаты в переменных (p, V)

Используем найденное соотношение:

T V^{2/3} = \text{const}

А также:

T = \frac{3}{2 C_V} pV

Подставим:

\left(\frac{3}{2 C_V} pV \right) V^{2/3} = \text{const}

p V^{5/3} = \text{const}

✅ Ответ:

Уравнение адиабаты для идеального электронного газа:

• В переменных (p, V):

p V^{5/3} = \text{const}

• В переменных (T, V):

T V^{2/3} = \text{const}